Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 20, 28, 48, 29, 15.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 94.

μ = 100σ = 12x = 94

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 1 jawaban benar?

n = 10p = 0,25k = 1

P =

5.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 250 dan 257,75 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 257,75

P =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 10% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin10%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 87,5 dan simpangan baku s = 16,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 8x̄ = 87,5s = 16,599%t(7) = 3,499

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 201,9 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,9s = 4n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 23 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 73 dari 250 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 73n₂ = 250

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 28) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 28)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 11,29

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 166/6 = 27,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−1,667)² + (−7,667)² + 0,3333² + 20,33² + 1,333² + (−12,67)² = 637,3

Simpangan baku

s = √(637,3/5) = 11,29

Jawaban

s = 11,29

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,5

Standarkan

z = (94 − 100)/12 = −0,5

Jawaban

z = −0,5

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 4,35

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,5

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,6

Variansi

Var(X) = 10,6 − 2,5² = 4,35

Jawaban

Var(X) = 4,35

4.Peluang

Jawaban: P = 0,1877

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 1) = 10·0,25¹·0,75⁹ = 10·0,25·0,07508 = 0,1877

Jawaban

P = 0,1877

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4394

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Luas di antara

P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394

Jawaban

P = 0,4394

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 119,2 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 poin

Jawaban

x = 119,2 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 67,09

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Margin galat

E = 3,499·16,5/√8 = 20,41

Selang

87,5 ± 20,41 → [67,09, 107,9]

Jawaban

batas bawah = 67,09

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Bulatkan ke atas

n = 4148

Jawaban

n = 4148

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,85

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistik uji

t = (201,9 − 200)/0,6667 = 2,85

Jawaban

t = 2,85

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −3,144

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 73/250 = 0,292

p̂ = 96/400 = 0,24

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,24·0,76·(1/150 + 1/250)) = 0,04411

Statistik uji

z = (0,1533 − 0,292)/0,04411 = −3,144

Jawaban

z = −3,144

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9844

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 340/5 = 68

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 436

Koefisien korelasi

r = 130/√(40·436) = 0,9844

Jawaban

r = 0,9844

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 5,333

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 136/6 = 22,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

Garis regresi

b = −37/17,5 = −2,114

a = 22,67 − (−2,114)·3,5 = 30,07

ŷ = 30,07 − 2,114·x

Nilai prediksi

ŷ = 30,07 + (−2,114)·3,5 = 22,67

Residu

e = 28 − 22,67 = 5,333

Jawaban

e = 5,333

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1