Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 16, 21, 15, 23, 48.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 140?

μ = 100σ = 20x = 140

P =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 3

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 20. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,6528. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,6528

z =

6.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 9,5. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 50 pengamatan?

99%n₁ = 25E₁ = 9,5n₂ = 50

E₂ =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 32. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?

σ = 32E = 590%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 94,6 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,6s = 15n = 25

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 80 melawan H₁: μ < 80 dilakukan pada α = 0.01 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 15. Kenyataannya, rata-ratanya 74.3. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 80μ = 74,3σ = 15n = 100α = 0,01

β = %

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 130Σx² = 364Σy² = 3526Σxy = 1130

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,15

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 170/6 = 28,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 18,67² + (−12,33)² + (−7,333)² + (−13,33)² + (−5,333)² + 19,67² = 1147

Simpangan baku

s = √(1147/5) = 15,15

Jawaban

s = 15,15

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,02275

Standarkan

z = 2

Tabel normal baku

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

3.Peluang

Jawaban: P = 0,4213

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Jawaban

P = 0,4213

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 1,673

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·0,8367 = 1,673

Jawaban

σ_Y = 1,673

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·1 + 20 = 18.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,94

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,6528)/2 = 0,8264

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8264 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,94

Jawaban

z = 0,94

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,983

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Standarkan

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Peluang

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Jawaban

P = 0,983

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 6,718

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/50) = 0,7071

Margin baru

E₂ = 9,5·0,7071 = 6,718

Jawaban

E₂ = 6,718

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 111

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·32/5)² = 110,8

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 111

Jawaban

n = 111

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Statistik uji

t = (94,6 − 100)/3 = −1,8

Jawaban

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 7,024 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 80 − 2,326·1,5 = 76,51

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (76,51 − 74,3)/1,5 = 1,474

Galat tipe II

kuasa = P(Z < 1.474) = 92.98%

β = 100% − 92,98% = 7,024%

Jawaban

β = 7,024%

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9873

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 1130 − 42·130/6 = 220

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3526 − 130²/6 = 709,3

Koefisien korelasi

r = 220/√(70·709,3) = 0,9873

Jawaban

r = 0,9873

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 49,55

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 292/5 = 58,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Garis regresi

b = 118/40 = 2,95

a = 58,4 − 2,95·7 = 37,75

ŷ = 37,75 + 2,95·x

Prediksi

ŷ = 37,75 + 2,95·4 = 49,55

Jawaban

ŷ = 49,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1