Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 31, 45, 56, 34, 24, 52.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 106?

μ = 100σ = 15x = 106

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 10. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 454 dan 582 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 582

P =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 99 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 30x̄ = 99s = 2090%t(29) = 1,699

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 20. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 20E = 2,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 7 siswa, rata-rata nilai 105,5, simpangan baku 4,5. Kelompok 2: 5 siswa, rata-rata nilai 102, simpangan baku 2. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 7x̄₁ = 105,5s₁ = 4,5n₂ = 5x̄₂ = 102s₂ = 2

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 120,4. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 120,4σ = 12n = 10095%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,63

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 242/6 = 40,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−9,333)² + 4,667² + 15,67² + (−6,333)² + (−16,33)² + 11,67² = 797,3

Simpangan baku

s = √(797,3/5) = 12,63

Jawaban

s = 12,63

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446

3.Peluang

Jawaban: σ = 0,8047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variansi

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Jawaban

σ = 0,8047

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 23,32

Sebaran X

μ = 3,6, Var(X) = 5,44, σ_X = 2,332

Perubahan linear

σ_Y = |10|·2,332 = 23,32

Jawaban

σ_Y = 23,32

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·3,6 + 10 = 46.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8547

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547

Jawaban

P = 0,8547

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 24,31 min

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Jawaban

x = 24,31 min

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 105,2

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margin galat

E = 1,699·20/√30 = 6,204

Selang

99 ± 6,204 → [92,8, 105,2]

Jawaban

batas atas = 105,2

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 246

Selesaikan untuk n

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 246

Jawaban

n = 246

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,612

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (6·4,5² + 4·2²)/10 = 13,75

s_p = 3,708

Galat baku

SE = 3,708·√(1/7 + 1/5) = 2,171

Statistik uji

t = (105,5 − 102)/2,171 = 1,612

Jawaban

t = 1,612

Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 122,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·12/√100 = 2,352

Batas selang

U = 120,4 + 2,352 = 122,8

Jawaban

U = 122,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9884

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 94,83

Koefisien determinasi

r² = −40,5²/(17,5·94,83) = 0,9884

Jawaban

r² = 0,9884

Sekitar 98,84% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 18,51

Rata-rata

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 403/5 = 80,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

Garis regresi

b = 393/90 = 4,367

a = 80,6 − 4,367·23 = −19,83

ŷ = −19,83 + 4,367·x

Selesaikan untuk x

x = (61 − (−19,83))/4,367 = 18,51

Jawaban

x = 18,51

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1