Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 51, 27, 54, 41, 60, 14, 43.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 82,5?

μ = 70σ = 10x = 82,5

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €15 dengan peluang 0,3 dan €100 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€15: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9634. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9634

z =

6.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 13 unit memiliki rata-rata 10 dan simpangan baku s = 9. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 13x̄ = 10s = 995%t(12) = 2,179

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 36. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 36E = 399%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 74,22 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,22s = 5n = 81

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 4E = 1,599%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 37) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 37)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,11

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 290/7 = 41,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 9,571² + (−14,43)² + 12,57² + (−0,4286)² + 18,57² + (−27,43)² + 1,571² = 1558

Simpangan baku

s = √(1558/6) = 16,11

Jawaban

s = 16,11

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,16

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,8

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,4

Variansi

Var(X) = 4,4 − 1,8² = 1,16

Jawaban

Var(X) = 1,16

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 0,5 €

Hasil bersih

G: 10 (p = 0,3), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)

Nilai harapan

E(G) = 10·0,3 + 95·0,01 − 5·0,69 = 0,5 €

Jawaban

E(G) = 0,5 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 2,09

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9634)/2 = 0,9817

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9817 di dalam tabel dan baca z.

z = 2,09

Jawaban

z = 2,09

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 119,2 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 poin

Jawaban

x = 119,22 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 15,44

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margin galat

E = 2,179·9/√13 = 5,439

Selang

10 ± 5,439 → [4,561, 15,44]

Jawaban

batas atas = 15,44

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 956

Selesaikan untuk n

n = (2,576·36/3)² = 955,6

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 956

Jawaban

n = 956

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,404

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statistik uji

t = (74,22 − 75)/0,5556 = −1,404

Jawaban

t = −1,404

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 48

Selesaikan untuk n

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Bulatkan ke atas

n = 48

Jawaban

n = 48

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9662

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 440/6 = 73,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 649,3

Koefisien korelasi

r = 206/√(70·649,3) = 0,9662

Jawaban

r = 0,9662

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,15

Rata-rata

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 206/5 = 41,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21

Garis regresi

b = 21/10 = 2,1

a = 41,2 − 2,1·4 = 32,8

ŷ = 32,8 + 2,1·x

Nilai prediksi

ŷ = 32,8 + 2,1·3,5 = 40,15

Residu

e = 37 − 40,15 = −3,15

Jawaban

e = −3,15

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1