Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 11, 13, 58, 41.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 158?
μ = 170σ = 8x = 158
P =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 3
P =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €12 dengan peluang 0,2 dan €150 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €3€12: p = 0,2€150: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 62,5 dan 75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 62,5x2 = 75
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 105,5 dan simpangan baku s = 16. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 8x̄ = 105,5s = 1699%t(7) = 3,499
E =
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 12 petak, rata-rata hasil 61,5 kg, simpangan baku 1 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 62,5 kg, simpangan baku 7,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 12x̄₁ = 61,5s₁ = 1n₂ = 9x̄₂ = 62,5s₂ = 7,590%t(19) = 1,729
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 7 siswa, rata-rata nilai 105, simpangan baku 4,5. Kelompok 2: 19 siswa, rata-rata nilai 108,3, simpangan baku 2. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 7x̄₁ = 105s₁ = 4,5n₂ = 19x̄₂ = 108,3s₂ = 2
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.
σ = 5E = 199%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 19,82
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 149/5 = 29,8
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−3,8)² + (−18,8)² + (−16,8)² + 28,2² + 11,2² = 1571
Simpangan baku
s = √(1571/4) = 19,82
Jawaban
s = 19,82
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,9332
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1,5
Tabel normal baku
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Jawaban
P = 0,9332
3.Peluang
Jawaban: P = 0,4213
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Jawaban
P = 0,4213
4.Peluang
Jawaban: E(G) = 0,9 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 9 (p = 0,2), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)
Nilai harapan
E(G) = 9·0,2 + 147·0,01 − 3·0,79 = 0,9 €
Jawaban
E(G) = 0,9 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,4401
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
Luas di antara
P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401
Jawaban
P = 0,4401
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9207
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41
Peluang
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Jawaban
P = 0,9207
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 19,79
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margin galat
E = 3,499·16/√8 = 19,79
Jawaban
E = 19,79
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 2,755 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (11·1² + 8·7,5²)/19 = 24,26
sp = 4,926
Margin galat
E = 1,729·4,926·√(1/12 + 1/9) = 3,755
Selang
−1 ± 3,755 → [−4,755, 2,755]
Jawaban
batas atas = 2,755 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −2,629
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (6·4,5² + 18·2²)/24 = 8,063
sp = 2,839
Galat baku
SE = 2,839·√(1/7 + 1/19) = 1,255
Statistik uji
t = (105 − 108,3)/1,255 = −2,629
Jawaban
t = −2,629
Dengan df = 24, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,064; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 166
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Selesaikan untuk n
n = (2,576·5/1)² = 165,9
Bulatkan ke atas
n = 166
Jawaban
n = 166
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9008
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 289/6 = 48,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 177
Syy = Σ(y − ȳ)² = 496,8
Koefisien determinasi
r² = 177²/(70·496,8) = 0,9008
Jawaban
r² = 0,9008
Sekitar 90,08% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 21,83
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Garis regresi
b = −52,5/17,5 = −3
a = 18,83 − (−3)·3,5 = 29,33
ŷ = 29,33 − 3·x
Prediksi
ŷ = 29,33 + (−3)·2,5 = 21,83
Jawaban
ŷ = 21,83
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1