Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 13, 21, 15, 45, 43.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 140.
μ = 170σ = 15x = 140
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,2, 0,2, 0,3Y = 3X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 27,2 dan 36,8 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 32σ = 6x1 = 27,2x2 = 36,8
P =
6.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 1,7. Berapa margin galat E₂ selang 99% dari data yang sama?
90%n₁ = 25E₁ = 1,799%
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 15 petak, rata-rata hasil 88,5 kg, simpangan baku 2,5 kg. Kelompok petak 2: 7 petak, rata-rata 77 kg, simpangan baku 4,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 15x̄₁ = 88,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 77s₂ = 4,599%t(20) = 2,845
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
12 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 10,65 dan simpangan baku selisihnya 11,9. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 10,65sd = 11,9
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 84 dari 120 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 246 dari 300 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 246n₂ = 300
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 19.
n = 6x = 19
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 15,45
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 137/5 = 27,4
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + (−6,4)² + (−12,4)² + 17,6² + 15,6² = 955,2
Simpangan baku
s = √(955,2/4) = 15,45
Jawaban
s = 15,45
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (140 − 170)/15 = −2
Jawaban
z = −2
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 4,64
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,4
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,4
Variansi
Var(X) = 10,4 − 2,4² = 4,64
Jawaban
Var(X) = 4,64
4.Peluang
Jawaban: σY = 4,635
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 3,25, Var(X) = 2,387, σX = 1,545
Perubahan linear
σY = |3|·1,545 = 4,635
Jawaban
σY = 4,635
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·3,25 + 10 = 19,75.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5763
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
Luas di antara
P = Φ(0,8) − Φ(−0,8) = 0,7881 − 0,2119 = 0,5763
Jawaban
P = 0,5763
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 434 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,05
z dari tabel
z ≈ −1,64
Kembali ke satuan semula
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Jawaban
x = 434 h
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 2,662
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/25) = 1,566
Margin baru
E₂ = 1,7·1,566 = 2,662
Jawaban
E₂ = 2,662
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 7,29 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (14·2,5² + 6·4,5²)/20 = 10,45
sp = 3,233
Margin galat
E = 2,845·3,233·√(1/15 + 1/7) = 4,21
Selang
11,5 ± 4,21 → [7,29, 15,71]
Jawaban
batas bawah = 7,29 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 3,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 11,9/√12 = 3,435
Statistik uji
t = 10,65/3,435 = 3,1
Jawaban
t = 3,1
Dengan df = 11, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,201; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −2,708
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 84/120 = 0,7
p̂₂ = 246/300 = 0,82
p̂ = 330/420 = 0,7857
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,7857·0,2143·(1/120 + 1/300)) = 0,04432
Statistik uji
z = (0,7 − 0,82)/0,04432 = −2,708
Jawaban
z = −2,708
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9834
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 569/5 = 113,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 540
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3295
Koefisien determinasi
r² = 540²/(90·3295) = 0,9834
Jawaban
r² = 0,9834
Sekitar 98,34% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 82,33
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 494/6 = 82,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 346
Garis regresi
b = 346/70 = 4,943
a = 82,33 − 4,943·19 = −11,58
ŷ = −11,58 + 4,943·x
Prediksi
ŷ = −11,58 + 4,943·19 = 82,33
Jawaban
ŷ = 82,33
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1