Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 35, 14, 24, 51, 33.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di atas 82?
μ = 70σ = 12x = 82
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,2, 0,1
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 5. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,2Y = 5X + 5
σY =
5.Distribusi normalSedang
Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 249,2 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 249,2 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 21,5 dan simpangan baku s = 13. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 21x̄ = 21,5s = 1399%t(20) = 2,845
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 25 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 1,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 24, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 12,401 dan 2,5% berada di atas 39,364.
n = 25s = 1,8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
20 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya −1,79 dan simpangan baku selisihnya 10. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = −1,79sd = 10
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 45 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 84 dari 200 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 84n₂ = 200
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 31,5.
n = 6x = 31,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 13,76
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 157/5 = 31,4
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 3,6² + (−17,4)² + (−7,4)² + 19,6² + 1,6² = 757,2
Simpangan baku
s = √(757,2/4) = 13,76
Jawaban
s = 13,76
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,1587
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1
Tabel normal baku
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Jawaban
P = 0,1587
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,787
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,1 = 1,75
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,1 = 4,85
Variansi
Var(X) = 4,85 − 1,75² = 1,787
Jawaban
Var(X) = 1,787
4.Peluang
Jawaban: σY = 5,339
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,4, Var(X) = 1,14, σX = 1,068
Perubahan linear
σY = |5|·1,068 = 5,339
Jawaban
σY = 5,339
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·2,4 + 5 = 17.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,695
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 250 kg, σT = 0,5·√10 = 1,581 kg
Standarkan
z = (249,2 − 250)/1,581 = −0,51
Peluang
P = 1 − Φ(−0,51) = 0,695
Jawaban
P = 0,695
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 241,8 g
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Kembali ke x
x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g
Jawaban
x = 241,78 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 29,57
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margin galat
E = 2,845·13/√21 = 8,071
Selang
21,5 ± 8,071 → [13,43, 29,57]
Jawaban
batas atas = 29,57
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 1,405 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 24·1,8² = 77,76
Batas untuk σ²
77,76/39,364 = 1,975
77,76/12,401 = 6,27
Batas untuk σ
σ = √1,975 = 1,405 µm
Jawaban
σ = 1,405 µm
Selang 95% untuk σ: [1,405, 2,504] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −0,8005
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 10/√20 = 2,236
Statistik uji
t = −1,79/2,236 = −0,8005
Jawaban
t = −0,8005
Dengan df = 19, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,093; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −2,303
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 45/150 = 0,3
p̂₂ = 84/200 = 0,42
p̂ = 129/350 = 0,3686
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,3686·0,6314·(1/150 + 1/200)) = 0,05211
Statistik uji
z = (0,3 − 0,42)/0,05211 = −2,303
Jawaban
z = −2,303
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,8638
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 273/5 = 54,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 325,2
Koefisien determinasi
r² = 53²/(10·325,2) = 0,8638
Jawaban
r² = 0,8638
Sekitar 86,38% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 177,2
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 837/6 = 139,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 988,5
Garis regresi
b = 988,5/157,5 = 6,276
a = 139,5 − 6,276·25,5 = −20,54
ŷ = −20,54 + 6,276·x
Prediksi
ŷ = −20,54 + 6,276·31,5 = 177,2
Jawaban
ŷ = 177,2
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1