Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 18, 36, 24, 35.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 40.

μ = 60σ = 20x = 40

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,05, 0,3, 0,1

σ =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 8 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 8p = 0,2k = 3

P =

5.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 422 dan 572 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 572

P =

6.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 36 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 7. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 324 pengamatan?

95%n₁ = 36E₁ = 7n₂ = 324

E₂ =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 21. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 21E = 1,590%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 80; simpangan baku populasinya diketahui 12. Sampel acak 144 pengamatan memiliki rata-rata 78. Uji H₀: μ = 80 melawan H₁: μ < 80. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 80σ = 12n = 144x̄ = 78H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 102,8. Simpangan baku populasi 5. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 102,8σ = 5n = 2599%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6, 79) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(6, 79)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 7,987

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 147/5 = 29,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 4,6² + (−11,4)² + 6,6² + (−5,4)² + 5,6² = 255,2

Simpangan baku

s = √(255,2/4) = 7,987

Jawaban

s = 7,987

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Standarkan

z = (40 − 60)/20 = −1

Jawaban

z = −1

3.Peluang

Jawaban: σ = 1,337

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,1 = 1,75

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,1 = 4,85

Variansi

Var(X) = 4,85 − 1,75² = 1,787

σ = √1,787 = 1,337

Jawaban

σ = 1,337

4.Peluang

Jawaban: P = 0,1468

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 3) = 56·0,2³·0,8⁵ = 56·0,008·0,3277 = 0,1468

Jawaban

P = 0,1468

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9385

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Luas di antara

P = Φ(1,8) − Φ(−1,95) = 0,9641 − 0,02559 = 0,9385

Jawaban

P = 0,9385

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 2,333

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(36/324) = 0,3333

Margin baru

E₂ = 7·0,3333 = 2,333

Jawaban

E₂ = 2,333

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 531

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·21/1,5)² = 530,4

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 531

Jawaban

n = 531

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,02275

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (78 − 80)/1 = −2

Luas ekor

Φ(2) = 0,9772

1 − Φ(2) = 0,0228

nilai p

p = 0,02275

Jawaban

p = 0,02275

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 100,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·5/√25 = 2,576

Batas selang

L = 102,8 − 2,576 = 100,2

Jawaban

L = 100,2

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9498

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 454/5 = 90,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 852,8

Koefisien determinasi

r² = 180²/(40·852,8) = 0,9498

Jawaban

r² = 0,9498

Sekitar 94,98% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,167

Rata-rata

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 461/6 = 76,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 341

Garis regresi

b = 341/70 = 4,871

a = 76,83 − 4,871·6 = 47,6

ŷ = 47,6 + 4,871·x

Nilai prediksi

ŷ = 47,6 + 4,871·6 = 76,83

Residu

e = 79 − 76,83 = 2,167

Jawaban

e = 2,167

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1