Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 52, 59, 30, 41, 46, 13.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 118,8?

μ = 100σ = 15x = 118,8

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya melebihi 297,4 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 297,4 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 81 dan simpangan baku s = 10. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 81s = 1099%t(15) = 2,947

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 29E = 199%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 80,25 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 80,25s = 10n = 16

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 197,1. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 197,1σ = 10n = 4999%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5, 12) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(5, 12)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,56

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 241/6 = 40,17

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 11,83² + 18,83² + (−10,17)² + 0,8333² + 5,833² + (−27,17)² = 1371

Simpangan baku

s = √(1371/5) = 16,56

Jawaban

s = 16,56

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,588

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,3 + 5·0,05 = 2,75

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,3 + 25·0,05 = 9,15

Variansi

Var(X) = 9,15 − 2,75² = 1,588

Jawaban

Var(X) = 1,588

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,289

Sebaran X

μ = 2,3, Var(X) = 1,31, σ_X = 1,145

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1,145 = 2,289

Jawaban

σ_Y = 2,289

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2,3 + 4 = −0,6.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Standarkan

z = (297,4 − 300)/1,732 = −1,5

Peluang

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 73,63

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margin galat

E = 2,947·10/√16 = 7,367

Selang

81 ± 7,367 → [73,63, 88,37]

Jawaban

batas bawah = 73,63

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 5581

Selesaikan untuk n

n = (2,576·29/1)² = 5581

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 5581

Jawaban

n = 5581

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Statistik uji

t = (80,25 − 75)/2,5 = 2,1

Jawaban

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 200,8

Margin galat

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Batas selang

U = 197,1 + 3,68 = 200,8

Jawaban

U = 200,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,8457

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 293/6 = 48,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 110,8

Koefisien determinasi

r² = 40,5²/(17,5·110,8) = 0,8457

Jawaban

r² = 0,8457

Sekitar 84,57% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,3

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Garis regresi

b = 124/40 = 3,1

a = 18,4 − 3,1·6 = −0,2

ŷ = −0,2 + 3,1·x

Nilai prediksi

ŷ = −0,2 + 3,1·5 = 15,3

Residu

e = 12 − 15,3 = −3,3

Jawaban

e = −3,3

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1