Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 10, 42, 35, 52, 34, 15, 23.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 62,5?

μ = 70σ = 5x = 62,5

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 5

P =

4.PeluangSulit

12 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 12p = 0,2

P =

5.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 246,25 dan 257,75 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 257,75

P =

6.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 11 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 8,4 dan simpangan baku 3,5. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.

n = 11d̄ = 8,4s_d = 3,595%t(10) = 2,228

E = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 11 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,9 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 10, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 3,247 dan 2,5% berada di atas 20,483.

n = 11s = 3,9 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 12 siswa, rata-rata nilai 89, simpangan baku 2,5. Kelompok 2: 14 siswa, rata-rata nilai 94,5, simpangan baku 7. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 12x̄₁ = 89s₁ = 2,5n₂ = 14x̄₂ = 94,5s₂ = 7

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 16 pengukuran memiliki rata-rata 112,5. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 112,5σ = 15n = 1690%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,96

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 211/7 = 30,14

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−20,14)² + 11,86² + 4,857² + 21,86² + 3,857² + (−15,14)² + (−7,143)² = 1343

Simpangan baku

s = √(1343/6) = 14,96

Jawaban

s = 14,96

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Standarkan

z = −1,5

Tabel normal baku

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2727

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Jawaban

P = 0,2727

4.Peluang

Jawaban: P = 0,2749

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Jumlahkan

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Jawaban

P = 0,2749

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7128

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Luas di antara

P = Φ(1,55) − Φ(−0,75) = 0,9394 − 0,2266 = 0,7128

Jawaban

P = 0,7128

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 241,8 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Jawaban

x = 241,78 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,351 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·3,5/√11 = 2,351

Jawaban

E = 2,351 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 2,725 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 10·3,9² = 152,1

Batas untuk σ²

152,1/20,483 = 7,426

152,1/3,247 = 46,84

Batas untuk σ

σ = √7,426 = 2,725 µm

Jawaban

σ = 2,725 µm

Selang 95% untuk σ: [2,725, 6,844] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,578

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (11·2,5² + 13·7²)/24 = 29,41

s_p = 5,423

Galat baku

SE = 5,423·√(1/12 + 1/14) = 2,133

Statistik uji

t = (89 − 94,5)/2,133 = −2,578

Jawaban

t = −2,578

Dengan df = 24, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,064; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 118,7

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·15/√16 = 6,169

Batas selang

U = 112,5 + 6,169 = 118,7

Jawaban

U = 118,7

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8942

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 182/5 = 36,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 153,2

Koefisien korelasi

r = 35/√(10·153,2) = 0,8942

Jawaban

r = 0,8942

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 8,932

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 83/6 = 13,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151

Garis regresi

b = 151/70 = 2,157

a = 13,83 − 2,157·7 = −1,267

ŷ = −1,267 + 2,157·x

Selesaikan untuk x

x = (18 − (−1,267))/2,157 = 8,932

Jawaban

x = 8,932

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1