Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 28, 34, 12, 47, 35.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 40. Tentukan skor z z untuk nilai 524.

μ = 500σ = 40x = 524

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X − 3. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2Y = 0,5X − 3

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9090. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9090

z =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 75% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin75%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 39,5 dan simpangan baku s = 5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 39,5s = 595%t(15) = 2,131

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 201 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201s = 5n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 32 dari 80 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 153 dari 300 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 153n₂ = 300

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (9, 19) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(9, 19)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,76

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 156/5 = 31,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−3,2)² + 2,8² + (−19,2)² + 15,8² + 3,8² = 650,8

Simpangan baku

s = √(650,8/4) = 12,76

Jawaban

s = 12,76

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Standarkan

z = (524 − 500)/40 = 0,6

Jawaban

z = 0,6

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 0,6475

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variansi

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Jawaban

Var(X) = 0,6475

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 1,114

Sebaran X

μ = 2,8, Var(X) = 4,96, σ_X = 2,227

Perubahan linear

σ_Y = |0,5|·2,227 = 1,114

Jawaban

σ_Y = 1,114

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,8 − 3 = −1,6.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,69

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9545 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,69

Jawaban

z = 1,69

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 90 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 0,67·15 = 90 poin

Jawaban

x = 90 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 36,84

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margin galat

E = 2,131·5/√16 = 2,664

Selang

39,5 ± 2,664 → [36,84, 42,16]

Jawaban

batas bawah = 36,84

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Bulatkan ke atas

n = 423

Jawaban

n = 423

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistik uji

t = (201 − 200)/0,8333 = 1,2

Jawaban

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −1,749

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 32/80 = 0,4

p̂₂ = 153/300 = 0,51

p̂ = 185/380 = 0,4868

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,4868·0,5132·(1/80 + 1/300)) = 0,06289

Statistik uji

z = (0,4 − 0,51)/0,06289 = −1,749

Jawaban

z = −1,749

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,625

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 36

Koefisien determinasi

r² = −15²/(10·36) = 0,625

Jawaban

r² = 0,625

Sekitar 62,5% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,2

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 50/5 = 10

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Garis regresi

b = 64/40 = 1,6

a = 10 − 1,6·6 = 0,4

ŷ = 0,4 + 1,6·x

Nilai prediksi

ŷ = 0,4 + 1,6·9 = 14,8

Residu

e = 19 − 14,8 = 4,2

Jawaban

e = 4,2

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1