Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 40, 13, 35, 54, 25, 23.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 97,5.

μ = 100σ = 5x = 97,5

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

7 / 6

P =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 5 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 1 jawaban benar?

n = 5p = 0,6k = 1

P =

5.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 244,25 dan 255,25 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 255,25

P =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 84,5 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 8x̄ = 84,5s = 2090%t(7) = 1,895

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 17. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 17E = 199%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 30 komponen memiliki rata-rata panjang 88,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 15 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 84,4 mm, simpangan baku diketahui 8 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 30x̄₁ = 88,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 50x̄₂ = 84,4 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 8. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 8E = 199%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 49?

n = 5ŷ = 49

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,47

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 190/6 = 31,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 8,333² + (−18,67)² + 3,333² + 22,33² + (−6,667)² + (−8,667)² = 1047

Simpangan baku

s = √(1047/5) = 14,47

Jawaban

s = 14,47

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,5

Standarkan

z = (97,5 − 100)/5 = −0,5

Jawaban

z = −0,5

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2692

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Jawaban

P = 0,2692

4.Peluang

Jawaban: P = 0,0768

Rumus binomial

P(X = 1) = 5·0,6¹·0,4⁴ = 5·0,6·0,0256 = 0,0768

Jawaban

P = 0,0768

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7281

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Luas di antara

P = Φ(1,05) − Φ(−1,15) = 0,8531 − 0,1251 = 0,7281

Jawaban

P = 0,7281

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 434,2 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Jawaban

x = 434,2 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 71,1

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margin galat

E = 1,895·20/√8 = 13,4

Selang

84,5 ± 13,4 → [71,1, 97,9]

Jawaban

batas bawah = 71,1

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1918

Selesaikan untuk n

n = (2,576·17/1)² = 1918

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1918

Jawaban

n = 1918

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,384

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(15²/30 + 8²/50) = √8,78 = 2,963

Statistik uji

z = (88,5 − 84,4)/2,963 = 1,384

Jawaban

z = 1,384

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 425

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (2,576·8/1)² = 424,7

Bulatkan ke atas

n = 425

Jawaban

n = 425

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9073

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 24,8

Koefisien determinasi

r² = −15²/(10·24,8) = 0,9073

Jawaban

r² = 0,9073

Sekitar 90,73% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 3,053

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 329/5 = 65,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

Garis regresi

b = 228/40 = 5,7

a = 65,8 − 5,7·6 = 31,6

ŷ = 31,6 + 5,7·x

Selesaikan untuk x

x = (49 − 31,6)/5,7 = 3,053

Jawaban

x = 3,053

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1