Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 48, 33, 33, 23, 28, 21, 54.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 200?

μ = 170σ = 15x = 200
P =
3.PeluangSedang
P(paling sedikit satu enam) = ??1?2?3P(enam) = 1/6 pada setiap lemparan

Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 3
P =
4.PeluangSulit
n = 5, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k012345

5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,3. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 5p = 0,3
P =
5.Distribusi normalSedang
85,75108,25P = ?

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 85,75 dan 108,25 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 108,25
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 100x = ?75%

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 100σ = 15P = 75%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 16, s = 20LU = ?x̄ = 111E90%

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 111 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 111s = 2090%t(15) = 1,753
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Simpangan baku populasi adalah 14. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 14E = 399%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,06402,064

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 98,2 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,2s = 5n = 25
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −2,57602,576

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 99,3. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 99,3σ = 8n = 3699%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy129223320417517616xy24615202530

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 122Σx² = 91Σy² = 2604Σxy = 384
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy274156238321042xy5102040x = 9

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 9.

n = 5x = 9
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,41

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 240/7 = 34,29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 13,71² + (−1,286)² + (−1,286)² + (−11,29)² + (−6,286)² + (−13,29)² + 19,71² = 923,4

Simpangan baku

s = √(923,4/6) = 12,41

Jawaban

s = 12,41
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,02275

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 2

Tabel normal baku

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275
3.Peluang

Jawaban: P = 0,4213

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Jawaban

P = 0,4213
4.Peluang

Jawaban: P = 0,5282

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,75 = 0,1681
P(X = 1) = 5·0,3·0,74 = 0,3601

Jumlahkan

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Jawaban

P = 0,5282
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5378

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Luas di antara

P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378

Jawaban

P = 0,5378
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 110,1 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 poin

Jawaban

x = 110,12 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 119,8

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margin galat

E = 1,753·20/√16 = 8,765

Selang

111 ± 8,765 → [102,2, 119,8]

Jawaban

batas atas = 119,8
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 145

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·14/3)² = 144,5

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 145

Jawaban

n = 145
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik uji

t = (98,2 − 100)/1 = −1,8

Jawaban

t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 102,7

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·8/√36 = 3,435

Batas selang

U = 99,3 + 3,435 = 102,7

Jawaban

U = 102,7
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9256

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 384 − 21·122/6 = −43
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2604 − 122²/6 = 123,3

Koefisien korelasi

r = −43/√(17,5·123,3) = −0,9256

Jawaban

r = −0,9256
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 36,85

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 119/5 = 23,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Garis regresi

b = 174/40 = 4,35
a = 23,8 − 4,35·6 = −2,3
ŷ = −2,3 + 4,35·x

Prediksi

ŷ = −2,3 + 4,35·9 = 36,85

Jawaban

ŷ = 36,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1