Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 28, 38, 59, 15, 43.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 163,6?

μ = 170σ = 8x = 163,6

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25

σ =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 12 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,7, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?

n = 12p = 0,7k = 5

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9051. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9051

z =

6.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 70% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin70%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 9 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 4,3 dan simpangan baku 7,4. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 9d̄ = 4,3s_d = 7,490%t(8) = 1,86

batas atas = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 23. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 23E = 1,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 76,4 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,4s = 10n = 25

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 80 melawan H₁: μ > 80 dilakukan pada α = 0,10 dengan sampel berukuran 25; simpangan bakunya diketahui 7,5. Kenyataannya, rata-ratanya 84,2. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 80μ = 84,2σ = 7,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (24,5, 116) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(24,5, 116)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,33

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 230/6 = 38,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 8,667² + (−10,33)² + (−0,3333)² + 20,67² + (−23,33)² + 4,667² = 1175

Simpangan baku

s = √(1175/5) = 15,33

Jawaban

s = 15,33

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2119

Standarkan

z = −0,8

Tabel normal baku

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

3.Peluang

Jawaban: σ = 2,322

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 2·0,1 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,1

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,1 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15

Variansi

Var(X) = 15 − 3,1² = 5,39

σ = √5,39 = 2,322

Jawaban

σ = 2,322

4.Peluang

Jawaban: P = 0,02911

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 5) = 792·0,7⁵·0,3⁷ = 792·0,1681·0,0002187 = 0,02911

Jawaban

P = 0,02911

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,67

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9525 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,67

Jawaban

z = 1,67

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 59,8 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,3

z dari tabel

z ≈ −0,52

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 poin

Jawaban

x = 59,8 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 8,888 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 8, t = 1,86

Margin galat

E = 1,86·7,4/√9 = 4,588

Selang

4,3 ± 4,588 → [−0,288, 8,888]

Jawaban

batas atas = 8,888 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 904

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·23/1,5)² = 903,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 904

Jawaban

n = 904

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 0,7

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statistik uji

t = (76,4 − 75)/2 = 0,7

Jawaban

t = 0,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 93,55 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 80 + 1,282·1,5 = 81,92

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (81,92 − 84,2)/1,5 = −1,518

Daya

kuasa = P(Z > −1,518) = 93,55%

1 − β = 93,55%

Jawaban

1 − β = 93,55%

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9912

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 82/5 = 16,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 305,2

Koefisien determinasi

r² = 110²/(40·305,2) = 0,9912

Jawaban

r² = 0,9912

Sekitar 99,12% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −2,95

Rata-rata

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 558/5 = 111,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441

Garis regresi

b = 441/90 = 4,9

a = 111,6 − 4,9·23 = −1,1

ŷ = −1,1 + 4,9·x

Nilai prediksi

ŷ = −1,1 + 4,9·24,5 = 119

Residu

e = 116 − 119 = −2,95

Jawaban

e = −2,95

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1