Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 24, 48, 19, 38, 17.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di bawah 82,5?

μ = 70σ = 10x = 82,5
P =
3.PeluangSedang
merah: 3biru: 3

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 3
P =
4.PeluangSulit
xp(x)100,15200,25300,35400,25μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,25Y = 3X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di antara −z dan z = 0,3829

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,3829. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,3829
z =
6.Distribusi normalSulit
μ = 100x = ?5%

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 100σ = 15P = 5%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 9, sd​ = 5,60LU = ?d̄ = 3,4E99%

Tekanan darah 9 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 3,4 dan simpangan baku 5,6. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 9d̄ = 3,4sd = 5,699%t(8) = 3,355
batas atas = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(29) = 1,6990LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 9 petak, rata-rata hasil 81,5 kg, simpangan baku 1 kg. Kelompok petak 2: 22 petak, rata-rata 83,5 kg, simpangan baku 2 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 81,5s₁ = 1n₂ = 22x̄₂ = 83,5s₂ = 290%t(29) = 1,699
E = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,3062,306t = ?df = 8

9 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 9,96 dan simpangan baku selisihnya 10,3. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 9d̄ = 9,96sd = 10,3
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,05βσ = 14, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 1,5 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 14. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 80%δ = 1,5σ = 14zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy17852010623119261372916032165xy202530100150

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy126225320420517xy242025x = 3,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 23) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 23)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,33

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 146/5 = 29,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−5,2)² + 18,8² + (−10,2)² + 8,8² + (−12,2)² = 710,8

Simpangan baku

s = √(710,8/4) = 13,33

Jawaban

s = 13,33
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8944

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Jawaban

P = 0,8944
3.Peluang

Jawaban: P = 0,2

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Jawaban

P = 0,2
4.Peluang

Jawaban: σY = 30,15

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 27, Var(X) = 101, σX = 10,05

Perubahan linear

σY = |3|·10,05 = 30,15

Jawaban

σY = 30,15

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·27 + 20 = 101.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,5

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,6915 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,50

Jawaban

z = 0,50
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,33 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 poin

Jawaban

x = 75,33 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 9,663 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 8, t = 3,355

Margin galat

E = 3,355·5,6/√9 = 6,263

Selang

3,4 ± 6,263 → [−2,863, 9,663]

Jawaban

batas atas = 9,663 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 1,197 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (8·1² + 21·2²)/29 = 3,172
sp = 1,781

Margin galat

E = 1,699·1,781·√(1/9 + 1/22) = 1,197

Jawaban

E = 1,197 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,901

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 10,3/√9 = 3,433

Statistik uji

t = 9,96/3,433 = 2,901

Jawaban

t = 2,901

Dengan df = 8, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,306; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 539

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 0,842)·14/1,5)² = 538,8

Bulatkan ke atas

n = 539

Jawaban

n = 539
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9837

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 772/6 = 128,7

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 870
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4885

Koefisien determinasi

r² = 870²/(157,5·4885) = 0,9837

Jawaban

r² = 0,9837

Sekitar 98,37% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,55

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Garis regresi

b = −23/10 = −2,3
a = 21,6 − (−2,3)·3 = 28,5
ŷ = 28,5 − 2,3·x

Nilai prediksi

ŷ = 28,5 + (−2,3)·3,5 = 20,45

Residu

e = 23 − 20,45 = 2,55

Jawaban

e = 2,55

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1