Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 30, 44, 30, 55, 35, 30.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 54?

μ = 60σ = 12x = 54
P =
3.PeluangSedang
merah: 4biru: 9

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

4 / 9
P =
4.PeluangSulit
xp(x)10,1520,230,340,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 5. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,3, 0,35Y = 0,5X + 5
σY =
5.Distribusi normalSedang
680 kg697 kgT = X₁ + … + X₈?

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 8 di antaranya melebihi 697 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 697 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 15, s = 3LUx̄ = 16E = ?90%

Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 16 dan simpangan baku s = 3. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 15x̄ = 16s = 390%t(14) = 1,761
E =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Simpangan baku populasi adalah 21. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 21E = 2,590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,01102,011

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 116,3 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,3s = 10n = 49
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 14, kuasa 90%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2,5 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 14. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 90%δ = 2,5σ = 14zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy156517711989219623100xy152080100

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy255356465575684xy246607080x = 4,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4,5.

n = 5x = 4,5
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 10,23

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 224/6 = 37,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + 6,667² + (−7,333)² + 17,67² + (−2,333)² + (−7,333)² = 523,3

Simpangan baku

s = √(523,3/5) = 10,23

Jawaban

s = 10,23
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085
3.Peluang

Jawaban: P = 0,07692

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Jawaban

P = 0,07692
4.Peluang

Jawaban: σY = 0,5309

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,85, Var(X) = 1,128, σX = 1,062

Perubahan linear

σY = |0,5|·1,062 = 0,5309

Jawaban

σY = 0,5309

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,85 + 5 = 6,425.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3085

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg

Standarkan

z = (697 − 680)/33,94 = 0,5

Peluang

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8133

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Peluang

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Jawaban

P = 0,8133
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 1,364

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margin galat

E = 1,761·3/√15 = 1,364

Jawaban

E = 1,364
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 191

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·21/2,5)² = 190,9

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 191

Jawaban

n = 191
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,59

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statistik uji

t = (116,3 − 120)/1,429 = −2,59

Jawaban

t = −2,59
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 269

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,282)·14/2,5)² = 268,7

Bulatkan ke atas

n = 269

Jawaban

n = 269
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9722

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 421/5 = 84,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Syy = Σ(y − ȳ)² = 954,8

Koefisien korelasi

r = 190/√(40·954,8) = 0,9722

Jawaban

r = 0,9722
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 70,85

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 335/5 = 67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

Garis regresi

b = 77/10 = 7,7
a = 67 − 7,7·4 = 36,2
ŷ = 36,2 + 7,7·x

Prediksi

ŷ = 36,2 + 7,7·4,5 = 70,85

Jawaban

ŷ = 70,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1