Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 28, 56, 16, 18, 55.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.PeluangSulit

5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,7. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 5p = 0,7

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,8159. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8159

z =

6.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 70% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin70%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 99 dan simpangan baku s = 12. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 15x̄ = 99s = 1295%t(14) = 2,145

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 5 petak, rata-rata hasil 31,5 kg, simpangan baku 5,5 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 27,5 kg, simpangan baku 5,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 31,5s₁ = 5,5n₂ = 9x̄₂ = 27,5s₂ = 5,590%t(12) = 1,782

E = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 25. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 493,95. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ < 500. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 493,95H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 55 dari 100 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 70 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 70n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 15?

n = 5ŷ = 15

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,62

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 173/5 = 34,6

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−6,6)² + 21,4² + (−18,6)² + (−16,6)² + 20,4² = 1539

Simpangan baku

s = √(1539/4) = 19,62

Jawaban

s = 19,62

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −2

Standarkan

z = (160 − 170)/5 = −2

Jawaban

z = −2

3.Peluang

Jawaban: σ = 0,8047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variansi

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Jawaban

σ = 0,8047

4.Peluang

Jawaban: P = 0,03078

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,3⁵ = 0,00243

P(X = 1) = 5·0,7·0,3⁴ = 0,02835

Jumlahkan

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

Jawaban

P = 0,03078

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −0,9

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,8159 = 0,1841

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,1841 di dalam tabel dan baca z.

z = −0,90

Jawaban

z = −0,90

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 59,8 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,3

z dari tabel

z ≈ −0,52

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 poin

Jawaban

x = 59,8 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 6,646

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margin galat

E = 2,145·12/√15 = 6,646

Jawaban

E = 6,646

8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 5,467 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (4·5,5² + 8·5,5²)/12 = 30,25

s_p = 5,5

Margin galat

E = 1,782·5,5·√(1/5 + 1/9) = 5,467

Jawaban

E = 5,467 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,00776

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (493,95 − 500)/2,5 = −2,42

Luas ekor

Φ(2,42) = 0,9922

1 − Φ(2,42) = 0,0078

nilai p

p = 0,00776

Jawaban

p = 0,00776

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −2,191

Proporsi sampel

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 70/100 = 0,7

p̂ = 125/200 = 0,625

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,625·0,375·(1/100 + 1/100)) = 0,06847

Statistik uji

z = (0,55 − 0,7)/0,06847 = −2,191

Jawaban

z = −2,191

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,964

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 340/6 = 56,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 543,3

Koefisien korelasi

r = 94/√(17,5·543,3) = 0,964

Jawaban

r = 0,964

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,238

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 83/5 = 16,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Garis regresi

b = 84/40 = 2,1

a = 16,6 − 2,1·6 = 4

ŷ = 4 + 2,1·x

Selesaikan untuk x

x = (15 − 4)/2,1 = 5,238

Jawaban

x = 5,238

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1