Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 10, 26, 56, 10, 38.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 76?

μ = 100σ = 20x = 76

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,05, 0,2

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 35,8 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

6.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 9 unit memiliki rata-rata 119,5 dan simpangan baku s = 6,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 9x̄ = 119,5s = 6,590%t(8) = 1,86

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 30. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 30E = 399%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 48,2 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,2s = 20n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 500 melawan H₁: μ > 500 dilakukan pada α = 0,01 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 10. Kenyataannya, rata-ratanya 502,2. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 500μ = 502,2σ = 10n = 100α = 0,01

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 28?

n = 5ŷ = 28

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 21,15

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 197/6 = 32,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 24,17² + (−22,83)² + (−6,833)² + 23,17² + (−22,83)² + 5,167² = 2237

Simpangan baku

s = √(2237/5) = 21,15

Jawaban

s = 21,15

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8849

Standarkan

z = −1,2

Tabel normal baku

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Jawaban

P = 0,8849

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,247

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,05 + 4·0,2 = 1,55

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,05 + 16·0,2 = 4,65

Variansi

Var(X) = 4,65 − 1,55² = 2,247

Jawaban

Var(X) = 2,247

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,086

Sebaran X

μ = 1,75, Var(X) = 1,087, σ_X = 1,043

Perubahan linear

σ_Y = |2|·1,043 = 2,086

Jawaban

σ_Y = 2,086

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1,75 + 4 = 7,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,06426

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

Jawaban

P = 0,06426

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 166,5 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Jawaban

x = 166,49 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 115,5

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margin galat

E = 1,86·6,5/√9 = 4,03

Selang

119,5 ± 4,03 → [115,5, 123,5]

Jawaban

batas bawah = 115,5

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 664

Selesaikan untuk n

n = (2,576·30/3)² = 663,6

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 664

Jawaban

n = 664

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Statistik uji

t = (48,2 − 50)/2 = −0,9

Jawaban

t = −0,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 44,99 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 500 + 2,326·1 = 502,3

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (502,3 − 502,2)/1 = 0,126

Daya

kuasa = P(Z > 0,126) = 44,99%

1 − β = 44,99%

Jawaban

1 − β = 44,99%

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9834

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 349/5 = 69,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1055

Koefisien korelasi

r = 202/√(40·1055) = 0,9834

Jawaban

r = 0,9834

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 1,727

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 133/5 = 26,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11

Garis regresi

b = −11/10 = −1,1

a = 26,6 − (−1,1)·3 = 29,9

ŷ = 29,9 − 1,1·x

Selesaikan untuk x

x = (28 − 29,9)/(−1,1) = 1,727

Jawaban

x = 1,727

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1