Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
25303540

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 31, 43, 22, 29, 39.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 107,2.

μ = 100σ = 12x = 107,2
z =
3.PeluangSedang
merah: 7biru: 5

Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

7 / 5
P =
4.PeluangSulit
€p(x)−10,8320,1590,02

Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €3 dengan peluang 0,15 dan €10 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €1€3: p = 0,15€10: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,7764

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,7764. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7764
z =
6.Distribusi normalSulit
10 cm0X − Y?

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 10L = ?Ux̄ = 119E95%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 119 dan simpangan baku s = 10. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 119s = 1095%t(10) = 2,228
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(24) = 1,7110L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 10 petak, rata-rata hasil 63,5 kg, simpangan baku 2,5 kg. Kelompok petak 2: 16 petak, rata-rata 61 kg, simpangan baku 7 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 63,5s₁ = 2,5n₂ = 16x̄₂ = 61s₂ = 790%t(24) = 1,711
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,8p = ?

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 120; simpangan baku populasinya diketahui 18. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 114,6. Uji H₀: μ = 120 melawan H₁: μ < 120. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 120σ = 18n = 36x̄ = 114,6H₁: μ < μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 23, kuasa 90%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 5 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 23. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 90%δ = 5σ = 23zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy355460558663775xy466070

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 311Σx² = 135Σy² = 19583Σxy = 1598
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy127223320419517616xy2462025x = 5,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5,5, 11) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 11)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 7,457

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 198/6 = 33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 1² + (−2)² + 10² + (−11)² + (−4)² + 6² = 278

Simpangan baku

s = √(278/5) = 7,457

Jawaban

s = 7,457
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (107,2 − 100)/12 = 0,6

Jawaban

z = 0,6
3.Peluang

Jawaban: P = 0,3182

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Jawaban

P = 0,3182
4.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,35 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 2 (p = 0,15), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Nilai harapan

E(G) = 2·0,15 + 9·0,02 − 1·0,83 = −0,35 €

Jawaban

E(G) = −0,35 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −0,76

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,7764 = 0,2236

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,2236 di dalam tabel dan baca z.

z = −0,76

Jawaban

z = −0,76
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 112,3

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·10/√11 = 6,718

Selang

119 ± 6,718 → [112,3, 125,7]

Jawaban

batas bawah = 112,3
8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −1,46 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (9·2,5² + 15·7²)/24 = 32,97
sp = 5,742

Margin galat

E = 1,711·5,742·√(1/10 + 1/16) = 3,96

Selang

2,5 ± 3,96 → [−1,46, 6,46]

Jawaban

batas bawah = −1,46 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,03593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (114,6 − 120)/3 = −1,8

Luas ekor

Φ(1,8) = 0,9641
1 − Φ(1,8) = 0,0359

nilai p

p = 0,03593

Jawaban

p = 0,03593

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 182

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,282)·23/5)² = 181,3

Bulatkan ke atas

n = 182

Jawaban

n = 182
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8799

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 1598 − 25·311/5 = 43
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 19583 − 311²/5 = 238,8

Koefisien korelasi

r = 43/√(10·238,8) = 0,8799

Jawaban

r = 0,8799
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −5,105

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

Garis regresi

b = −37/17,5 = −2,114
a = 20,33 − (−2,114)·3,5 = 27,73
ŷ = 27,73 − 2,114·x

Nilai prediksi

ŷ = 27,73 + (−2,114)·5,5 = 16,1

Residu

e = 11 − 16,1 = −5,105

Jawaban

e = −5,105

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1