Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 17, 14, 10, 28, 51, 29.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 176?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,15, 0,05, 0,35

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 5. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,1, 0,05, 0,35Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,5035. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,5035

z =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 20% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 26 dan simpangan baku s = 10,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 26s = 10,590%t(10) = 1,812

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 10 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 7,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 9, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 2,7 dan 2,5% berada di atas 19,023.

n = 10s = 7,7 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 102 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 6 mm. Lini 2: sampel 100 komponen memiliki rata-rata 109 mm, simpangan baku diketahui 20 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 50x̄₁ = 102 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 100x̄₂ = 109 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 390%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,91

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 149/6 = 24,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−7,833)² + (−10,83)² + (−14,83)² + 3,167² + 26,17² + 4,167² = 1111

Simpangan baku

s = √(1111/5) = 14,91

Jawaban

s = 14,91

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,647

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,35 = 2,05

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,35 = 6,85

Variansi

Var(X) = 6,85 − 2,05² = 2,647

Jawaban

Var(X) = 2,647

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 4,788

Sebaran X

μ = 2,05, Var(X) = 2,548, σ_X = 1,596

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1,596 = 4,788

Jawaban

σ_Y = 4,788

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·2,05 + 5 = 11,15.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,68

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,5035)/2 = 0,7517

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7517 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,68

Jawaban

z = 0,68

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,8

z dari tabel

z ≈ 0,84

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Jawaban

x = 254,2 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 31,74

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margin galat

E = 1,812·10,5/√11 = 5,737

Selang

26 ± 5,737 → [20,26, 31,74]

Jawaban

batas atas = 31,74

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 14,06 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 9·7,7² = 533,6

Batas untuk σ²

533,6/19,023 = 28,05

533,6/2,7 = 197,6

Batas untuk σ

σ = √197,6 = 14,06 µm

Jawaban

σ = 14,06 µm

Selang 95% untuk σ: [5,296, 14,06] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −3,222

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(6²/50 + 20²/100) = √4,72 = 2,173

Statistik uji

z = (102 − 109)/2,173 = −3,222

Jawaban

z = −3,222

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·5/3)² = 7,517

Bulatkan ke atas

n = 8

Jawaban

n = 8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9765

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 668/6 = 111,3

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1833

Koefisien determinasi

r² = 354²/(70·1833) = 0,9765

Jawaban

r² = 0,9765

Sekitar 97,65% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 63,35

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 352/6 = 58,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

Garis regresi

b = 82/17,5 = 4,686

a = 58,67 − 4,686·5,5 = 32,9

ŷ = 32,9 + 4,686·x

Prediksi

ŷ = 32,9 + 4,686·6,5 = 63,35

Jawaban

ŷ = 63,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1