Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya di bawah 1336 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1336 kg

P =

2.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = poin

3.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 6 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −9,8 dan simpangan baku 3,1. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 6d̄ = −9,8s_d = 3,190%t(5) = 2,015

batas atas = mmHg

4.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 15. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 15E = 1,599%

n =

5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 50; simpangan baku populasinya diketahui 9. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 47,51. Uji H₀: μ = 50 melawan H₁: μ ≠ 50. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 50σ = 9n = 36x̄ = 47,51H₁: μ ≠ μ₀

p =

6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 66 dari 120 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 47 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 66n₁ = 120x₂ = 47n₂ = 100

z =

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (24,5, 86) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 86)

e =

9.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1802 × 2

χ² =

10.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3085

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standarkan

z = (1336 − 1360)/48 = −0,5

Peluang

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085

2.Distribusi normal

Jawaban: x = 129,4 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Kembali ke x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 poin

Jawaban

x = 129,4 poin

3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = −7,25 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 5, t = 2,015

Margin galat

E = 2,015·3,1/√6 = 2,55

Selang

−9,8 ± 2,55 → [−12,35, −7,25]

Jawaban

batas atas = −7,25 mmHg

4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 664

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·15/1,5)² = 663,6

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 664

Jawaban

n = 664

5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,09691

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5

z = (47,51 − 50)/1,5 = −1,66

Luas ekor

Φ(1,66) = 0,9515

1 − Φ(1,66) = 0,0485

nilai p

p = 2·0,0485 = 0,09691

Jawaban

p = 0,09691

p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,182

Proporsi sampel

p̂₁ = 66/120 = 0,55

p̂₂ = 47/100 = 0,47

p̂ = 113/220 = 0,5136

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,5136·0,4864·(1/120 + 1/100)) = 0,06768

Statistik uji

z = (0,55 − 0,47)/0,06768 = 1,182

Jawaban

z = 1,182

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9427

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 321/6 = 53,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 173,5

Koefisien determinasi

r² = 53,5²/(17,5·173,5) = 0,9427

Jawaban

r² = 0,9427

Sekitar 94,27% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,833

Rata-rata

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 487/6 = 81,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 682,5

Garis regresi

b = 682,5/157,5 = 4,333

a = 81,17 − 4,333·24,5 = −25

ŷ = −25 + 4,333·x

Nilai prediksi

ŷ = −25 + 4,333·24,5 = 81,17

Residu

e = 86 − 81,17 = 4,833

Jawaban

e = 4,833

Titik terletak di atas garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 6,857

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

pria: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30

wanita: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24

Statistik chi-kuadrat

χ² = (78 − 70)²/70 + (22 − 30)²/30 + (48 − 56)²/56 + (32 − 24)²/24

χ² = 6,857

Jawaban

χ² = 6,857

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 62,22

Frekuensi harapan

pabrik A: 70, 30

pabrik B: 42, 18

pabrik C: 70, 30

Statistik chi-kuadrat

χ² = (91 − 70)²/70 + (9 − 30)²/30 + (49 − 42)²/42 + (11 − 18)²/18 + (42 − 70)²/70 + (58 − 30)²/30

χ² = 62,22

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9,210

62,22 > 9,210

Jawaban

χ² = 62,22

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference