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Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Tabelle di verità: una formula con n variabili distinte ha 2ⁿ righe, una per ogni combinazione di valori di verità (1 = vero, 0 = falso). Procedi dall’interno verso l’esterno e dai a ogni sottoformula una colonna propria. ¬a inverte il valore; a ∧ b vale 1 solo quando entrambi valgono 1; a ∨ b vale 0 solo quando entrambi valgono 0; a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando i due lati sono uguali.

Algebra di Boole: le regole che semplificano le espressioni sono X + X′ = 1 e X·X′ = 0, X + X = X, l’assorbimento X + X·Y = X, la regola di combinazione X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y e il teorema del consenso XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Le leggi di De Morgan trasformano (X·Y)′ in X′ + Y′ e (X + Y)′ in X′·Y′. Una mappa di Karnaugh applica queste regole in forma grafica: ogni gruppo di due celle vicine è un uso di XY + XY′ = X.

Flip-flop e contatori: un flip-flop cambia solo sul fronte attivo del clock. D copia il suo ingresso (Q⁺ = D); T commuta quando T = 1; JK mantiene per 00, azzera per 01, imposta a 1 per 10 e commuta per 11. Un contatore binario a n bit ha 2ⁿ stati e conta modulo 2ⁿ; un contatore modulo N conta 0, 1, …, N − 1 e torna a 0, e richiede il minimo n con 2ⁿ ≥ N flip-flop. Ogni stadio di un contatore asincrono (ripple) dimezza la frequenza, quindi l’ultima uscita di un contatore modulo N ha frequenza f_clk/N. Un contatore Johnson di n flip-flop ha 2n stati, un contatore ad anello n.

Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. K_n ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).