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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 9 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0002% / 4n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 15 anni al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €150 0005,4% / 12N = 180
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 9 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €14 000, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 10 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 6 anni e quota €1 110. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 6P = €1 110
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 7,67%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €51,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €127 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €3,00 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €255 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €65 l'unità con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €50 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €50 000p = €65v = €45utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 280 unità a €18 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €4 800. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 8%?
Q = 1 280p = €18v = €12F = €4 800%ΔQ = −8%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 16713 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·9 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,197 = €16 712,90
Risposta
PV = €16 712,90
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 69182 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/7,108 = 5 627,60
EAC
EAC = 5 627,60 + 5 000 = €10 627,60
Risposta
EAC = €10 627,60
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,47 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 113,42
NPV(20%) = −1 041,67
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,04, N = 12
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €328,48
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6246 = €624,60
Prezzo
P = €953,07
Risposta
P = €953,07
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,971 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 110 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 168,04, P(3%) = €1 108,34
YTM = 2,971%
Risposta
YTM = 2,971%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 12 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Parte del debito nel WACC
0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 1,669%
Costo del capitale proprio
re = (7,67% − 1,669%)/0,5 = 12%
Risposta
re = 12%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 3·1,02 = €3,06
re = 3,06/51 + 0,02 = 8%
Valori di mercato
E = 5 000 000·€51,00 = €255 000 000
V = €510 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 5,8%
Risposta
WACC = 5,8%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2600 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.