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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 al 3% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 11 anni.
PV = €20 000r = 3%t = 11
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €1 100 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €1 1004,2% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi, dura 7 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €50 000M = €2 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €12 000, €13 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 13 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 4 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 4P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €5 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 12 anni alla scadenza) quotate €1 154 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €50 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €6 000 al netto delle imposte?
p = €50v = €45F = €20 000T = 20%utile al netto delle imposte = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €10 con un costo variabile di €5; il prodotto B si vende a €45 con un costo variabile di €30. Si vendono in un mix fisso di 3 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €12 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €10, vA = €5pB = €45, vB = €30A : B = 3 : 1F = €12 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 27819 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,03·11 = 0,33
e0,33 = 1,391
Valore futuro
FV = 20 000·1,391 = €27 819,36
Risposta
FV = €27 819,36
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 24 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0035/1100 = 0,9205
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,9205)/ln(1,004) = 23,72
Arrotonda a rate intere
23 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 24
Risposta
N = 24 rate
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 12956 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−7)/0,12 = 4,564
Prezzo d’acquisto annualizzato
50 000/4,564 = 10 955,89
EAC
EAC = 10 955,89 + 2 000 = €12 955,89
Risposta
EAC = €12 955,89
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,02 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 264,65
NPV(20%) = −972,22
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 15 + 5·264,65/(264,65 − (−972,22)) = 16,07%
esatto: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%
Risposta
IRR = 16,02%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1129 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0125, N = 6
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €201,11
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9282 = €928,17
Prezzo
P = €1 129,29
Risposta
P = €1 129,29
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 10,05 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(10%) = €936,60, P(11%) = €906,93
YTM = 10,05%
Risposta
YTM = 10,05%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,37 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
6 000/(1 − 0,2) = €7 500
Unità necessarie
Q = (20 000 + 7 500)/5 = 5 500
Risposta
Q = 5 500 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1600 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.