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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €8 0004,2% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €24 000, €22 000, €21 000, €18 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €13 000, €11 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 10 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 324 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 10P = €1 324YTM = 4%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €1 085. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €1 085
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 9%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €29,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €17 700 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,00 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €29 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €40 000p = €35v = €25utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €53 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 750 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €53v = €45budget = 3 750
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 400000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8109
A = 8 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €148,06
Risposta
A = €148,06
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 12520 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 24 000/1,07 = 22 429,91
CF2/(1 + 0,07)2 = 22 000/1,145 = 19 215,65
CF3/(1 + 0,07)3 = 21 000/1,225 = 17 142,26
CF4/(1 + 0,07)4 = 18 000/1,311 = 13 732,11
Sommali
NPV = €12 519,93
Risposta
NPV = €12 519,93
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 13,47 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 909,09
NPV(15%) = −378,07
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·909,09/(909,09 − (−378,07)) = 13,53%
esatto: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%
Risposta
IRR = 13,47%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,995 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−10 = €675,56
Cedola
C = (1324 − 675,56)/8,111 = €79,95
Tasso cedolare
c = 79,95/1000 = 7,995%
Risposta
c = 7,995%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,504 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,504%
Risposta
YTM = 5,504%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,984 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 5,984%
Risposta
WACC = 5,984%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,828 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2·1,02 = €2,04
re = 2,04/29,5 + 0,02 = 8,915%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€29,50 = €29 500 000
V = €59 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,915% + 0,5·6%·(1 − 0,21) = 6,828%
Risposta
WACC = 6,828%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5200 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).