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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 20 anni. Il tasso di interesse è il 10% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €3 000i = 10%n = 20
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0002,4% / 12N = 36
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €9 000, €9 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €30 000, €27 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 30 000CF2 = 27 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 9%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 3YTM = 2,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,9 ha un rendimento richiesto del 5,95%. Il tasso privo di rischio è del 1%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,9re = 5,95%rf = 1%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €55,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 6,5%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €28 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €5 000?
F = €10 000p = €28v = €18utile = €5 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €27 l'unità, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €12 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 400 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €12 000p = €27v = €15budget = 1 400
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 25541 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,1486)/0,1 = 8,514
Valore attuale
PV = 3 000·8,514 = €25 540,69
Risposta
PV = €25 540,69
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 561,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 36
A = 15 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−36) = €432,26
Interessi totali
I = N·A − P = 36·432,3 − 15 000 = €561,47
Risposta
I = €561,47
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 3114 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 9 000/1,124 = 8 009,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Sommali
NPV = €3 113,71
Risposta
NPV = €3 113,71
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 3 514,74
NPV(10%) = −0,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·3 514,74/(3 514,74 − (−0,00)) = 10%
esatto: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%
Risposta
IRR = 10%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 819,5 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,045, N = 6
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €51,58
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7679 = €767,90
Prezzo
P = €819,47
Risposta
P = €819,47
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,914 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,025 = 29,27, t·PV = 29,27
t = 2: 30/1,051 = 28,55, t·PV = 57,11
t = 3: 1030/1,077 = 956,46, t·PV = 2 869,37
Duration
P = 1 014,28
D = 2 955,75/1 014,28 = 2,914
Risposta
D = 2,914 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 6,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (5,95% − 1%)/0,9 = 5,5%
Rendimento di mercato
rm = 1% + 5,5% = 6,5%
Risposta
rm = 6,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,551 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).