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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 24%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 24%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 11 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2503% / 12N = 132
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 6 anni e costa €4 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €4 000n = 6r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €12 000, €11 500, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 11 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 11%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 10y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 176. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 176prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €19,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €60 l'unità con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €30 000p = €60v = €45utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €33 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €22 500 all'anno. Le vendite a budget sono 2 400 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €22 500p = €33v = €18budget = 2 400
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 27,11 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,24/365 = 0,0006575
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006575)365 − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%
Risposta
EAR = 27,11%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 39040 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/4,623 = 12 978,92
EAC
EAC = 12 978,92 + 4 000 = €16 978,92
Risposta
EAC = €16 978,92
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 32,95 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 814,75
NPV(35%) = −533,46
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 30 + 5·814,75/(814,75 − (−533,46)) = 33,02%
esatto: NPV(32,95%) = 0 → IRR = 32,95%
Risposta
IRR = 32,95%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −86,08 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1176 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 189,15
y = 4%: €1 138,35
YTC = 3,254%
Risposta
YTC = 3,254%
Il rendimento a scadenza è del 4,497%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,89 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·14% + 0,1111·5%·(1 − 0,2) = 12,89%
Risposta
WACC = 12,89%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,171 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€19,00 = €19 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 0,6·5,5% = 5,8%
Pesi
V = €29 200 000, E/V = 0,6507, D/V = 0,3493
WACC
WACC = 0,6507·5,8% + 0,3493·5%·(1 − 0,2) = 5,171%
Risposta
WACC = 5,171%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2400 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).