Finanza aziendale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

Analisi del punto di pareggio

Margine di contribuzione: CM = p − v
Quantità di pareggio: Q_BE = FC/(p − v)
Utile obiettivo: Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile: π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza: (Q − Q_BE)/Q

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €5 000g = 3%r = 8%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 13 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €5003% / 12N = 156

FV = €

3.VAN e TIRMedia

Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €13 000, €18 000, €22 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 18 000CF₃ = 22 000

NPV = €

4.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e rende €15 000, €8 500, €12 500, €15 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 8 500CF₃ = 12 500CF₄ = 15 000

MIRR = %

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €982 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 4P = €982YTM = 3,5%

c = %

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 18 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 304. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%P = €1 304prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 3 anni

YTC = %

7.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

D/E = 0,5r_e = 14%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €30,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.

β = 1,2r_f = 3%r_m = 7%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

9.Analisi del punto di pareggioMedia

Un prodotto si vende a €17 l'unità con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?

F = €20 000p = €17v = €12utile = €2 000

Q = unità

10.Analisi del punto di pareggioDifficile

Un prodotto si vende a €29 l'unità, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €3 200 all'anno. Le vendite a budget sono 920 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.

F = €3 200p = €29v = €25budget = 920

MS = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 100000 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0,08 − 0,03) = 5 000/0,05 = €100 000,00

Risposta

PV = €100 000,00

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 95252 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·13 = 156

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,476 − 1)/0,0025 = €95 252,43

Risposta

FV = €95 252,43

Tu hai versato €78 000; il resto sono interessi.

3.VAN e TIR

Risposta: NPV = −3384 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 13 000/1,12 = 11 607,14

CF₂/(1 + 0,12)² = 18 000/1,254 = 14 349,49

CF₃/(1 + 0,12)³ = 22 000/1,405 = 15 659,17

Sommali

NPV = €−3 384,20

Risposta

NPV = €−3 384,20

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

4.VAN e TIR

Risposta: MIRR = 24,85 %

TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valore finale delle entrate

15 000·1,12³ = 21 073,92

8 500·1,12² = 10 662,40

12 500·1,12¹ = 14 000,00

15 000·1,12⁰ = 15 000,00

TV = 60 736,32

MIRR

MIRR = (60 736,32/25 000)^1/4 − 1 = 24,85%

Risposta

MIRR = 24,85%

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 3,01 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,035)⁻⁴ = €871,44

Cedola

C = (982 − 871,44)/3,673 = €30,10

Tasso cedolare

c = 30,1/1000 = 3,01%

Risposta

c = 3,01%

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 50 %

Equazione del rendimento

1304 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

Risolvi numericamente

y = 50%: €415,56

YTC = 50%

Risposta

YTC = 50%

Il rendimento a scadenza è del 4,5%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

7.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 11,2 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 11,2%

Risposta

WACC = 11,2%

8.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,296 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€30,50 = €152 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,2·4% = 7,8%

Pesi

V = €172 100 000, E/V = 0,8861, D/V = 0,1139

WACC

WACC = 0,8861·7,8% + 0,1139·4,5%·(1 − 0,25) = 7,296%

Risposta

WACC = 7,296%

9.Analisi del punto di pareggio

Risposta: Q = 4400 unità

Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).

Margine di contribuzione unitario

p − v = 17 − 12 = €5

Unità per l'utile obiettivo

Q = (F + utile)/(p − v) = (20 000 + 2 000)/5 = 4 400

Risposta

Q = 4 400 unità

10.Analisi del punto di pareggio

Risposta: MS = 13,04 %

Quantità di pareggio

Q = F/(p − v) = 3 200/4 = 800

Margine di sicurezza

MS = (920 − 800)/920·100 = 13,04%

Risposta

MS = 13,04%

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