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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €3 0006% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €1 125 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €1 1256% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €13 500 alla fine di ogni anno per 4 anni e poi può essere venduta a €7 500. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €13 500S = €7 500n = 4r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e rende €16 000, €23 500, €23 500, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 13 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 9,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 13y1 = 9%y2 = 9,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €985 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5,2 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 75 punti base.
P0 = €985y = 3%D = 5,2Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €10,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 10,5%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €25 000 all’anno e un costo variabile di €18 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €33 000 all’anno e un costo variabile di €16 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €25 000vA = €18FB = €33 000vB = €16
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €26 l'unità, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 600 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €26v = €6budget = 1 600
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4552 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,005/1125 = 0,8889
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8889)/ln(1,005) = 23,62
Arrotonda a rate intere
23 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 24
Risposta
N = 24 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −4229 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
13 500·3,037 = 41 004,22
Valore attuale del valore residuo
7 500/1,574 = 4 766,39
NPV
NPV = −50 000 + 41 004,22 + 4 766,39 = −€4 229,40
Risposta
NPV = −€4 229,40
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 15,65 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
16 000·1,083 = 20 155,39
23 500·1,082 = 27 410,40
23 500·1,081 = 25 380,00
16 500·1,080 = 16 500,00
TV = 89 445,79
MIRR
MIRR = (89 445,79/50 000)1/4 − 1 = 15,65%
Risposta
MIRR = 15,65%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −22,76 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5,2/1,03 = 5,049
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −5,049·(−0,0075) = 3,786%
P ≈ 985·(1 + 0,03786) = €1 022,30
Risposta
P = €1 022,30
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,76 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·13% + 0,2727·6%·(1 − 0,2) = 10,76%
Risposta
WACC = 10,76%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,81 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 000 000·€10,00 = €20 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 0,8·6,5% = 9,2%
Pesi
V = €39 200 000, E/V = 0,5102, D/V = 0,4898
WACC
WACC = 0,5102·9,2% + 0,4898·6%·(1 − 0,28) = 6,81%
Risposta
WACC = 6,81%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
25 000 + 18Q = 33 000 + 16Q
Ricava Q
Q = (33 000 − 25 000)/(18 − 16) = 4 000
Risposta
Q = 4 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 37,5 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).