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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 9% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 14 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2503,6% / 12N = 168
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €12 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €12 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 6. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €10 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 7 anni e quota €905. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 7P = €905
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,6. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,6re = 13%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 11 anni alla scadenza) quotate €1 121 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €65 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €100 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €50 000 al netto delle imposte?
p = €65v = €45F = €100 000T = 20%utile al netto delle imposte = €50 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €40 l'unità, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €40 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 600 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €40 000p = €40v = €30budget = 4 600
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 133333 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 12 000/(0,09 − 0,04) = 240 000,00
NPV
NPV = 240 000,00 − 200 000 = €40 000,00
Risposta
NPV = €40 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1290 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,05)/(1,1))6 = 0,7564
PV = 10 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7564) = 48 710,19
NPV
NPV = 48 710,19 − 50 000 = −€1 289,81
Risposta
NPV = −€1 289,81
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 977,2 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,0175, N = 10
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €136,52
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8407 = €840,73
Prezzo
P = €977,25
Risposta
P = €977,25
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,948 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(9%) = €949,67, P(10%) = €902,63
YTM = 9,948%
Risposta
YTM = 9,948%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,025 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·3%·(1 − 0,2) = 9,025%
Risposta
WACC = 9,025%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,827 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
50 000/(1 − 0,2) = €62 500
Unità necessarie
Q = (100 000 + 62 500)/20 = 8 125
Risposta
Q = 8 125 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 13,04 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).