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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 5 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0003,6% / 4n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €10 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €10 0004,8% / 12N = 72
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 8 anni e costa €4 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €25 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 6. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €25 000g = 4%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 203 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €1 203YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 3 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
E = €2 000 000D = €2 000 000re = 8%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €29,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €20 000 all’anno e un costo variabile di €10 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €21 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €20 000vA = €10FB = €21 000vB = €8
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €24 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €24v = €4budget = 1 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 41797 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·5 = 20
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,196 = €41 797,15
Risposta
PV = €41 797,15
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 1529 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,004, N = 72
A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−72) = €160,12
Interessi totali
I = N·A − P = 72·160,1 − 10 000 = €1 528,87
Risposta
I = €1 528,87
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 12052 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−8)/0,12 = 4,968
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/4,968 = 8 052,11
EAC
EAC = 8 052,11 + 4 000 = €12 052,11
Risposta
EAC = €12 052,11
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −37828 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,996 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−5 = €841,97
Cedola
C = (1203 − 841,97)/4,515 = €79,96
Tasso cedolare
c = 79,96/1000 = 7,996%
Risposta
c = 7,996%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,49 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 053,46, P(7%) = €1 026,24
YTM = 6,49%
Risposta
YTM = 6,49%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 5,5%
Risposta
WACC = 5,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,338 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 000 000·€29,00 = €58 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,8·6,5% = 14,2%
Pesi
V = €100 000 000, E/V = 0,58, D/V = 0,42
WACC
WACC = 0,58·14,2% + 0,42·3,5%·(1 − 0,25) = 9,338%
Risposta
WACC = 9,338%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
20 000 + 10Q = 21 000 + 8Q
Ricava Q
Q = (21 000 − 20 000)/(10 − 8) = 500
Risposta
Q = 500 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 20 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).