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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 21%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 21%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €5 000 al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €100 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €5 000A = €1003,6% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €40 000 oggi e rende €9 500, €13 000, €13 500, €12 000, €15 500, €11 000 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €17 500, €13 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 17 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 9%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €990 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 7,2 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 150 punti base.
P0 = €990y = 6%D = 7,2Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €32,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 3%rm = 10%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €40 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €5 000?
F = €30 000p = €40v = €20utile = €5 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 6 250 unità al mese a €57 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €60 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €4 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 6 250p = €57v = €45 → €49F = €60 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,36 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,21/365 = 0,0005753
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0005753)365 − 1 = 1,234 − 1 = 23,36%
Risposta
EAR = 23,36%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 55 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,003/100 = 0,85
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,85)/ln(1,003) = 54,25
Arrotonda a rate intere
54 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 55
Risposta
N = 55 rate
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,76 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 9 500/1,05 = 9 047,62 → Σ = 9 047,62
anno 2: 13 000/1,103 = 11 791,38 → Σ = 20 839,00
anno 3: 13 500/1,158 = 11 661,81 → Σ = 32 500,81
anno 4: 12 000/1,216 = 9 872,43 → Σ = 42 373,24
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 7 499,19/9 872,43 = 3,76
Risposta
DPB = 3,76 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 40,89 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(40%) = 276,97
NPV(45%) = −1 213,87
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,045, N = 22
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €482,45
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,3797 = €379,70
Prezzo
P = €862,16
Risposta
P = €862,16
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 889,1 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 7,2/1,06 = 6,792
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −6,792·(0,015) = −10,19%
P ≈ 990·(1 − 0,1019) = €889,13
Risposta
P = €889,13
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,475 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,21) = 7,475%
Risposta
WACC = 7,475%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,81 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).