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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 8 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0005% / 4n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0003% / 12N = 36
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €18 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €14 000, €14 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 14 000CF3 = 9 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 5%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €1 045. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €1 045
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €24,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €15 000 all’anno e un costo variabile di €18 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €35 000 all’anno e un costo variabile di €14 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €15 000vA = €18FB = €35 000vB = €14
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €23 l'unità, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €9 600 all'anno. Le vendite a budget sono 1 560 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €9 600p = €23v = €15budget = 1 560
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 33599 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·8 = 32
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,488 = €33 599,20
Risposta
PV = €33 599,20
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 581,6 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,914
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,914) = €581,62
Risposta
A = €581,62
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,742 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 18 000/1,05 = 17 142,86 → Σ = 17 142,86
anno 2: 18 000/1,103 = 16 326,53 → Σ = 33 469,39
anno 3: 18 000/1,158 = 15 549,08 → Σ = 49 018,46
anno 4: 18 000/1,216 = 14 808,64 → Σ = 63 827,11
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 10 981,54/14 808,64 = 3,742
Risposta
DPB = 3,742 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 24,33 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 1 597,22
NPV(25%) = −232,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,025, N = 12
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €102,58
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7436 = €743,56
Prezzo
P = €846,13
Risposta
P = €846,13
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 1,456 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 045 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(1%) = €1 058,82, P(2%) = €1 028,84
YTM = 1,456%
Risposta
YTM = 1,456%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,09 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·3%·(1 − 0,21) = 11,09%
Risposta
WACC = 11,09%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,258 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
15 000 + 18Q = 35 000 + 14Q
Ricava Q
Q = (35 000 − 15 000)/(18 − 14) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 23,08 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).