Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 al 3% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 13 anni.
PV = €2 000r = 3%t = 13
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €25 000 tra 5 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €25 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €13 000 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €8 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €13 000S = €8 000n = 8r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 6%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 094. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 094prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €56,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 6%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €55 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €12 000 al netto delle imposte?
p = €55v = €45F = €40 000T = 20%utile al netto delle imposte = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €16 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €10 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 250 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €10 000p = €16v = €12budget = 3 250
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2954 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,03·13 = 0,39
e0,39 = 1,477
Valore futuro
FV = 2 000·1,477 = €2 953,96
Risposta
FV = €2 953,96
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 347,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
13 000·5,335 = 69 354,04
Valore attuale del valore residuo
8 000/2,144 = 3 732,06
NPV
NPV = −80 000 + 69 354,04 + 3 732,06 = −€6 913,90
Risposta
NPV = −€6 913,90
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,696 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 680,27
NPV(10%) = −41,32
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·680,27/(680,27 − (−41,32)) = 9,714%
esatto: NPV(9,696%) = 0 → IRR = 9,696%
Risposta
IRR = 9,696%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1043 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,03, N = 10
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €298,56
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7441 = €744,09
Prezzo
P = €1 042,65
Risposta
P = €1 042,65
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 3,963 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1094 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 150,22
y = 4%: €1 091,94
YTC = 3,963%
Risposta
YTC = 3,963%
Il rendimento a scadenza è del 3,998%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,95 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€56,50 = €226 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,3·4% = 7,2%
Pesi
V = €236 200 000, E/V = 0,9568, D/V = 0,04318
WACC
WACC = 0,9568·7,2% + 0,04318·6%·(1 − 0,3) = 7,07%
Risposta
WACC = 7,07%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
12 000/(1 − 0,2) = €15 000
Unità necessarie
Q = (40 000 + 15 000)/10 = 5 500
Risposta
Q = 5 500 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 23,08 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).