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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €3 000i = 6%n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0004,8% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €5 000, €9 000, €8 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 000, €6 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 6 500CF3 = 5 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 145 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €1 145YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 13 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 137. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 137prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €57,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 8,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €26 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €8 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €8 000p = €26v = €18utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 000 unità al mese a €20 l’una, con un costo variabile di €8 per unità e costi fissi di €6 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €4 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 000p = €20v = €8 → €12F = €6 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 20405 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5919)/0,06 = 6,802
Valore attuale
PV = 3 000·6,802 = €20 405,08
Risposta
PV = €20 405,08
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 787 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2376
A = 150 000·0,004/(1 − 0,2376) = €787,00
Risposta
A = €787,00
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2006 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 5 000/1,1 = 4 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 9 000/1,21 = 7 438,02
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
Sommali
NPV = €−2 006,01
Risposta
NPV = €−2 006,01
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 35,33 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 43,18
NPV(40%) = −575,80
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 35 + 5·43,18/(43,18 − (−575,80)) = 35,35%
esatto: NPV(35,33%) = 0 → IRR = 35,33%
Risposta
IRR = 35,33%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 5,001 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−12 = €661,78
Cedola
C = (1145 − 661,78)/9,663 = €50,01
Tasso cedolare
c = 50,01/1000 = 5,001%
Risposta
c = 5,001%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 4,785 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1137 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 168,73
y = 5%: €1 128,51
YTC = 4,785%
Risposta
YTC = 4,785%
Il rendimento a scadenza è del 5,498%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·12% + 0,375·7%·(1 − 0,2) = 9,6%
Risposta
WACC = 9,6%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,38 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).