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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 9 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0003,6% / 4n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €100 000 tra 18 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €100 0004,8% / 12N = 216
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 5 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 5r = 10%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €36 000, €28 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 36 000CF2 = 28 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 10y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 4 anni e quota €965. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €18,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €45 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,30 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €27 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €20 000p = €35v = €15utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €8 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €4 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 200 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €4 000p = €8v = €4budget = 1 200
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 14486 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·9 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,381 = €14 485,98
Risposta
PV = €14 485,98
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 292,3 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,1−5)/0,1 = 3,791
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/3,791 = 15 827,85
EAC
EAC = 15 827,85 + 5 000 = €20 827,85
Risposta
EAC = €20 827,85
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,64 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 2 854,44
NPV(20%) = −208,33
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€965 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €964,54
YTM = 4,987%
Risposta
YTM = 4,987%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,15 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·3%·(1 − 0,2) = 7,15%
Risposta
WACC = 7,15%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).