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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 5%n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €200 alla fine di ogni mese per 30 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2002,4% / 12N = 360
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €19 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €20 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €19 000S = €20 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €19 500, €27 000, €28 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 27 000CF3 = 28 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 3%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 5 anni e quota €940. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 14,2%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 14,2%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €11,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 10%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €28 l'unità con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €30 000p = €28v = €8utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €30 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €60 000 all'anno. Le vendite a budget sono 6 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €60 000p = €30v = €18budget = 6 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 40606 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7462)/0,05 = 5,076
Valore attuale
PV = 8 000·5,076 = €40 605,54
Risposta
PV = €40 605,54
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 105296 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
19 000·3,791 = 72 024,95
Valore attuale del valore residuo
20 000/1,611 = 12 418,43
NPV
NPV = −80 000 + 72 024,95 + 12 418,43 = €4 443,38
Risposta
NPV = €4 443,38
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 21,44 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 1 203,70
NPV(25%) = −2 784,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,015, N = 8
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,8877)/0,015 = €262,01
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8877 = €887,71
Prezzo
P = €1 149,72
Risposta
P = €1 149,72
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,482 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€940 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(7%) = €959,00, P(8%) = €920,15
YTM = 7,482%
Risposta
YTM = 7,482%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 10 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (14,2% − 3%)/1,6 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 7% = 10%
Risposta
rm = 10%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,64 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).