Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 24%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 24%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €6 000 all’inizio di ogni anno per 30 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 30? Trova FV.
A = €6 000i = 5%n = 30
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €12 000, €7 000, €8 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €8 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €8 500g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 5 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 1,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 5y1 = 2,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 163. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 163prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 13%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 6,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €15 000 all’anno e un costo variabile di €12 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €30 000 all’anno e un costo variabile di €9 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €15 000vA = €12FB = €30 000vB = €9
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €15 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €27 con un costo variabile di €15. Si vendono in un mix fisso di 3 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €27 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €15, vA = €10pB = €27, vB = €15A : B = 3 : 1F = €27 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 26,25 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,24/4 = 0,06
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,06)4 − 1 = 1,262 − 1 = 26,25%
Risposta
EAR = 26,25%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 418565 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,05)30 − 1)/0,05 = 66,44
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 6 000·66,44·1,05 = €418 564,74
Risposta
FV = €418 564,74
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5732 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 12 000/1,06 = 11 320,75
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
Sommali
NPV = €−5 732,32
Risposta
NPV = €−5 732,32
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5861 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,05)/(1,12))7 = 0,6365
PV = 8 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 44 139,19
NPV
NPV = 44 139,19 − 50 000 = −€5 860,81
Risposta
NPV = −€5 860,81
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 51,25 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1163 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 168,73
y = 5%: €1 128,51
YTC = 4,14%
Risposta
YTC = 4,14%
Il rendimento a scadenza è del 5,5%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,883 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 7,883%
Risposta
WACC = 7,883%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,634 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
15 000 + 12Q = 30 000 + 9Q
Ricava Q
Q = (30 000 − 15 000)/(12 − 9) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4000 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.