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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 9 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0003,6% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 5 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3002,4% / 12N = 60
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €21 000, €19 000, €24 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €4 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €4 500g = 3%n = 10r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 3,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 15 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 091. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 091prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,7. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il premio per il rischio di mercato è del 5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,7D/E = 0,25T = 21%rf = 1,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €24 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €40 000p = €24v = €4utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €14 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €4 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €4 000p = €14v = €12budget = 3 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 14472 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,382 = €14 472,02
Risposta
PV = €14 472,02
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 19104 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 21 000/1,15 = 18 260,87
CF2/(1 + 0,15)2 = 19 000/1,322 = 14 366,73
CF3/(1 + 0,15)3 = 24 000/1,521 = 15 780,39
Sommali
NPV = €−26 592,01
Risposta
NPV = €−26 592,01
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −21635 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,03)/(1,12))10 = 0,4327
PV = 4 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,4327) = 28 364,74
NPV
NPV = 28 364,74 − 50 000 = −€21 635,26
Risposta
NPV = −€21 635,26
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1242 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0175, N = 16
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €484,77
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7576 = €757,62
Prezzo
P = €1 242,38
Risposta
P = €1 242,38
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 7,106 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1091 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 7%: €1 094,90
y = 8%: €1 058,80
YTC = 7,106%
Risposta
YTC = 7,106%
Il rendimento a scadenza è del 7,001%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,51 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·7%·(1 − 0,21) = 10,51%
Risposta
WACC = 10,51%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 5,691 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,7·(1 + 0,79·0,25) = 0,8382
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 0,8382·5% = 5,691%
Risposta
re = 5,691%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2300 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).