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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €20 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €20 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 9? Trova il debito residuo B.
P = €150 0002,4% / 12N = 240k = 108
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €24 000, €24 000, €18 000, €14 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e rende €9 000, €10 000, €9 500, €8 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 3%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 085 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,6 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 150 punti base.
P0 = €1 085y = 3%D = 11,6Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 10%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €15,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €53 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €4 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €53v = €45F = €4 000T = 25%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €12 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €15. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €16 800 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €12, vA = €8pB = €35, vB = €15A : B = 2 : 1F = €16 800
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 400000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 240
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−240) = €787,57
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 108 = 132
B = 787,6·(1 − (1 + 0,002)−132)/0,002 = €91 288,46
Risposta
B = €91 288,46
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4739 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 24 000/1,1 = 21 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 24 000/1,21 = 19 834,71
CF3/(1 + 0,1)3 = 18 000/1,331 = 13 523,67
CF4/(1 + 0,1)4 = 14 000/1,464 = 9 562,19
Sommali
NPV = €4 738,75
Risposta
NPV = €4 738,75
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 19,85 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
9 000·1,083 = 11 337,41
10 000·1,082 = 11 664,00
9 500·1,081 = 10 260,00
8 000·1,080 = 8 000,00
TV = 41 261,41
MIRR
MIRR = (41 261,41/20 000)1/4 − 1 = 19,85%
Risposta
MIRR = 19,85%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1283 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,015, N = 16
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,788)/0,015 = €494,59
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,788 = €788,03
Prezzo
P = €1 282,63
Risposta
P = €1 282,63
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 901,7 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,6/1,03 = 11,26
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −11,26·(0,015) = −16,89%
P ≈ 1085·(1 − 0,1689) = €901,71
Risposta
P = €901,71
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·5%·(1 − 0,2) = 8%
Risposta
WACC = 8%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,521 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 500 000·€15,50 = €38 750 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,2·6% = 9,7%
Pesi
V = €59 750 000, E/V = 0,6485, D/V = 0,3515
WACC
WACC = 0,6485·9,7% + 0,3515·5%·(1 − 0,3) = 7,521%
Risposta
WACC = 7,521%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 750 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,25) = €2 000
Unità necessarie
Q = (4 000 + 2 000)/8 = 750
Risposta
Q = 750 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1800 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.