Finanza aziendale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

Analisi del punto di pareggio

Margine di contribuzione: CM = p − v
Quantità di pareggio: Q_BE = FC/(p − v)
Utile obiettivo: Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile: π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza: (Q − Q_BE)/Q

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €1 000 al 2% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 3 anni.

PV = €1 000r = 2%t = 3

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Vuoi avere €30 000 tra 15 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.

FV = €30 0007,2% / 12N = 180

A = €

3.VAN e TIRMedia

Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €12 000, €6 000, €6 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 12 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €13 500, €14 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 14 000

IRR = %

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3%n = 8

P = €

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 6 anni e quota €1 105. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 6P = €1 105

YTM = %

7.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 10,25%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €10 000 000D = €5 000 000WACC = 10,25%r_d = 6%T = 21%

r_e = %

8.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €28,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.

β = 0,9r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.Analisi del punto di pareggioMedia

Un’azienda vende 12 500 unità a €21 l’una. Il costo variabile è €15 per unità e i costi fissi sono €30 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.

Q = 12 500p = €21v = €15F = €30 000

DOL =

10.Analisi del punto di pareggioDifficile

Un prodotto si vende a €18 l'unità, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €9 600 all'anno. Le vendite a budget sono 920 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.

F = €9 600p = €18v = €6budget = 920

MS = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 1062 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,02·3 = 0,06

e^0,06 = 1,062

Valore futuro

FV = 1 000·1,062 = €1 061,84

Risposta

FV = €1 061,84

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 93,01 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·15 = 180

Versamento

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,006/(2,935 − 1) = €93,01

Risposta

A = €93,01

3.VAN e TIR

Risposta: NPV = 1251 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 14 000/1,1 = 12 727,27

CF₂/(1 + 0,1)² = 12 000/1,21 = 9 917,36

CF₃/(1 + 0,1)³ = 6 000/1,331 = 4 507,89

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 6 000/1,464 = 4 098,08

Sommali

NPV = €1 250,60

Risposta

NPV = €1 250,60

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

4.VAN e TIR

Risposta: IRR = 23,97 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 972,22

NPV(25%) = −240,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·972,22/(972,22 − (−240,00)) = 24,01%

esatto: NPV(23,97%) = 0 → IRR = 23,97%

Risposta

IRR = 23,97%

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1106 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €22,50, i = 0,015, N = 16

Valore attuale delle cedole

€22,50·(1 − 0,788)/0,015 = €317,95

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,788 = €788,03

Prezzo

P = €1 105,98

Risposta

P = €1 105,98

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 3,997 %

Equazione del rendimento

€1 105 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

P(3%) = €1 162,52, P(4%) = €1 104,84

YTM = 3,997%

Risposta

YTM = 3,997%

7.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 13,01 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Parte del debito nel WACC

0,3333·6%·(1 − 0,21) = 1,58%

Costo del capitale proprio

r_e = (10,25% − 1,58%)/0,6667 = 13,01%

Risposta

r_e = 13,01%

8.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,701 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€28,50 = €71 250 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9·4% = 7,1%

Pesi

V = €90 850 000, E/V = 0,7843, D/V = 0,2157

WACC

WACC = 0,7843·7,1% + 0,2157·7%·(1 − 0,25) = 6,701%

Risposta

WACC = 6,701%

9.Analisi del punto di pareggio

Risposta: DOL = 1,667

Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.

Margine di contribuzione totale

CM = 12 500·(21 − 15) = €75 000

Utile operativo

Π = 75 000 − 30 000 = €45 000

DOL

DOL = 75 000/45 000 = 1,667

Risposta

DOL = 1,667

10.Analisi del punto di pareggio

Risposta: MS = 13,04 %

Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).

Quantità di pareggio

Q = F/(p − v) = 9 600/12 = 800

Margine di sicurezza

MS = (920 − 800)/920·100 = 13,04%

Risposta

MS = 13,04%

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