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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €8 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €8 0002% / 12n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €16 000, €32 000, €27 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €31 000, €33 000, €18 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 31 000CF2 = 33 000CF3 = 18 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 6 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 1% e il premio per il rischio di mercato è del 4%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1D/E = 1T = 21%rf = 1%rm − rf = 4%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €16 con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €7 500 al netto delle imposte?
p = €16v = €6F = €15 000T = 25%utile al netto delle imposte = €7 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €12 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €12v = €4budget = 4 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9019 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €1 222,54
Risposta
A = €1 222,54
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 6511 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 18 000/1,05 = 17 142,86
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 32 000/1,158 = 27 642,80
CF4/(1 + 0,05)4 = 27 000/1,216 = 22 212,97
Sommali
NPV = €6 511,10
Risposta
NPV = €6 511,10
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 32,73 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 1 793,35
NPV(35%) = −1 410,86
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,03, N = 18
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €206,30
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5874 = €587,39
Prezzo
P = €793,70
Risposta
P = €793,70
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,539 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€930 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(8%) = €953,77, P(9%) = €910,28
YTM = 8,539%
Risposta
YTM = 8,539%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,338 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·12% + 0,375·7%·(1 − 0,3) = 9,338%
Risposta
WACC = 9,338%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,16 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1·(1 + 0,79·1) = 1,79
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 1,79·4% = 8,16%
Risposta
re = 8,16%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
7 500/(1 − 0,25) = €10 000
Unità necessarie
Q = (15 000 + 10 000)/10 = 2 500
Risposta
Q = 2 500 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 44,44 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).