Finanza aziendale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

Analisi del punto di pareggio

Margine di contribuzione: CM = p − v
Quantità di pareggio: Q_BE = FC/(p − v)
Utile obiettivo: Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile: π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza: (Q − Q_BE)/Q

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €2 000 al 4% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 11 anni.

PV = €2 000r = 4%t = 11

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €25 0005,4% / 12N = 60

A = €

3.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €33 000, €20 000, €15 000, €30 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 20 000CF₃ = 15 000CF₄ = 30 000

NPV = €

4.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €30 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 6. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €30 000g = 4%n = 6r = 10%

NPV = €

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3,5%n = 7

P = €

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 4 anni e quota €1 055. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 4P = €1 055

YTM = %

7.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 6,75%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €4 000 000D = €4 000 000WACC = 6,75%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

8.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €17,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 7%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.Analisi del punto di pareggioMedia

Un prodotto si vende a €27 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €6 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?

F = €6 000p = €27v = €15utile = €6 000

Q = unità

10.Analisi del punto di pareggioDifficile

Un prodotto si vende a €10 l'unità, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 8 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.

F = €20 000p = €10v = €6budget = 8 000

MS = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 3105 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,04·11 = 0,44

e^0,44 = 1,553

Valore futuro

FV = 2 000·1,553 = €3 105,41

Risposta

FV = €3 105,41

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 476,4 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·5 = 60

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,7638

A = 25 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €476,38

Risposta

A = €476,38

3.VAN e TIR

Risposta: NPV = 4944 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 33 000/1,09 = 30 275,23

CF₂/(1 + 0,09)² = 20 000/1,188 = 16 833,60

CF₃/(1 + 0,09)³ = 15 000/1,295 = 11 582,75

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 30 000/1,412 = 21 252,76

Sommali

NPV = €4 944,34

Risposta

NPV = €4 944,34

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

4.VAN e TIR

Risposta: NPV = −7120 €

Valore attuale della rendita crescente

((1,04)/(1,1))⁶ = 0,7142

PV = 30 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,7142) = 142 880,20

NPV

NPV = 142 880,20 − 150 000 = −€7 119,80

Risposta

NPV = −€7 119,80

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1062 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €22,50, i = 0,0175, N = 14

Valore attuale delle cedole

€22,50·(1 − 0,7844)/0,0175 = €277,25

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,7844 = €784,36

Prezzo

P = €1 061,61

Risposta

P = €1 061,61

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,468 %

Equazione del rendimento

€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Risolvi numericamente

P(4%) = €1 072,60, P(5%) = €1 035,46

YTM = 4,468%

Risposta

YTM = 4,468%

7.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Parte del debito nel WACC

0,5·6%·(1 − 0,25) = 2,25%

Costo del capitale proprio

r_e = (6,75% − 2,25%)/0,5 = 9%

Risposta

r_e = 9%

8.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,918 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€17,50 = €87 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·6% = 8,2%

Pesi

V = €92 400 000, E/V = 0,947, D/V = 0,05303

WACC

WACC = 0,947·8,2% + 0,05303·4%·(1 − 0,28) = 7,918%

Risposta

WACC = 7,918%

9.Analisi del punto di pareggio

Risposta: Q = 1000 unità

Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).

Margine di contribuzione unitario

p − v = 27 − 15 = €12

Unità per l'utile obiettivo

Q = (F + utile)/(p − v) = (6 000 + 6 000)/12 = 1 000

Risposta

Q = 1 000 unità

10.Analisi del punto di pareggio

Risposta: MS = 37,5 %

Quantità di pareggio

Q = F/(p − v) = 20 000/4 = 5 000

Margine di sicurezza

MS = (8 000 − 5 000)/8 000·100 = 37,5%

Risposta

MS = 37,5%

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