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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 2%r = 7%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0004,8% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €18 500 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €5 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €18 500S = €5 000n = 3r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €19 000, €25 500, €21 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 25 500CF3 = 21 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Viene venduta a €915. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 12P = €915
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 8,16%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €36,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €91 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,70 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €109 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €55 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €3 000 al netto delle imposte?
p = €55v = €45F = €10 000T = 20%utile al netto delle imposte = €3 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €60 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €30 000 all'anno. Le vendite a budget sono 2 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €30 000p = €60v = €45budget = 2 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 120000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2376
A = 150 000·0,004/(1 − 0,2376) = €787,00
Risposta
A = €787,00
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 3649 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
18 500·2,673 = 49 450,72
Valore attuale del valore residuo
5 000/1,191 = 4 198,10
NPV
NPV = −50 000 + 49 450,72 + 4 198,10 = €3 648,82
Risposta
NPV = €3 648,82
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 28,72 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 2 272,00
NPV(30%) = −737,37
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0175, N = 20
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €670,12
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7068 = €706,82
Prezzo
P = €1 376,94
Risposta
P = €1 376,94
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,004 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, N = 24
Risolvi numericamente
i = 3,002% per semestre
YTM
YTM = 2·3,002% = 6,004%
Risposta
YTM = 6,004%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 12 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Parte del debito nel WACC
0,5·6%·(1 − 0,28) = 2,16%
Costo del capitale proprio
re = (8,16% − 2,16%)/0,5 = 12%
Risposta
re = 12%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,569 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
3 000/(1 − 0,2) = €3 750
Unità necessarie
Q = (10 000 + 3 750)/10 = 1 375
Risposta
Q = 1 375 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 20 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).