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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 15? Trova il debito residuo B.
P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 180
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €13 000, €7 000, €9 000, €8 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €22 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €22 000g = 3%n = 5r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 5 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 1,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 5y1 = 3%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 106. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 106prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €54,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 8%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €12 l'unità con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €30 000p = €12v = €6utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €14 con un costo variabile di €10; il prodotto B si vende a €50 con un costo variabile di €30. Si vendono in un mix fisso di 4 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €36 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €14, vA = €10pB = €50, vB = €30A : B = 4 : 1F = €36 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 166667 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 180 = 60
B = 1755·(1 − (1 + 0,003)−60)/0,003 = €96 253,58
Risposta
B = €96 253,58
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2911 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 13 000/1,15 = 11 304,35
CF2/(1 + 0,15)2 = 7 000/1,322 = 5 293,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 8 000/1,749 = 4 574,03
Sommali
NPV = €−2 910,97
Risposta
NPV = €−2 910,97
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −7152 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,03)/(1,08))5 = 0,789
PV = 22 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,789) = 92 847,72
NPV
NPV = 92 847,72 − 100 000 = −€7 152,28
Risposta
NPV = −€7 152,28
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 79,86 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1106 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 6%: €1 154,74
y = 7%: €1 100,97
YTC = 6,904%
Risposta
YTC = 6,904%
Il rendimento a scadenza è del 6,999%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,12 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·3,5%·(1 − 0,258) = 10,12%
Risposta
WACC = 10,12%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,12 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.