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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €10 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €10 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 15? Trova il debito residuo B.
P = €300 0004,8% / 12N = 360k = 180
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €12 000, €13 000, €10 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 6. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €10 000g = 3%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 9%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €930 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 3,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 100 punti base.
P0 = €930y = 4%D = 3,8Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 9,38%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €28,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 7%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €28 con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €2 000 al netto delle imposte?
p = €28v = €8F = €10 000T = 20%utile al netto delle imposte = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 200 unità al mese a €16 l’una, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €3 200 al mese. Il costo variabile aumenta di €1 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 200p = €16v = €12 → €13F = €3 200
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 333333 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 180 = 180
B = 1574·(1 − (1 + 0,004)−180)/0,004 = €201 687,21
Risposta
B = €201 687,21
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 194,8 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 12 000/1,08 = 11 111,11
CF2/(1 + 0,08)2 = 13 000/1,166 = 11 145,40
CF3/(1 + 0,08)3 = 10 000/1,26 = 7 938,32
Sommali
NPV = €194,84
Risposta
NPV = €194,84
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −6105 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 492,7 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,045, N = 24
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €144,95
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,3477 = €347,70
Prezzo
P = €492,66
Risposta
P = €492,66
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 964 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 3,8/1,04 = 3,654
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −3,654·(−0,01) = 3,654%
P ≈ 930·(1 + 0,03654) = €963,98
Risposta
P = €963,98
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 12,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Parte del debito nel WACC
0,3846·4,5%·(1 − 0,2) = 1,385%
Costo del capitale proprio
re = (9,38% − 1,385%)/0,6154 = 12,99%
Risposta
re = 12,99%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,023 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
2 000/(1 − 0,2) = €2 500
Unità necessarie
Q = (10 000 + 2 500)/20 = 625
Risposta
Q = 625 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1600 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).