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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €12 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €5 000 al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €150 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €5 000A = €1502,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi. Genera €12 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €15 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €60 000CF = €12 000S = €15 000n = 5r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €16 000, €11 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 16 000CF3 = 11 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 8 anni e quota €1 145. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 8P = €1 145
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €12 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €33,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €67 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,30 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €100 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €6 con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €8 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €3 000 al netto delle imposte?
p = €6v = €4F = €8 000T = 20%utile al netto delle imposte = €3 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €27 l'unità, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €14 400 all'anno. Le vendite a budget sono 1 800 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €14 400p = €27v = €15budget = 1 800
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 400000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,002/150 = 0,9333
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,9333)/ln(1,002) = 34,53
Arrotonda a rate intere
34 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 35
Risposta
N = 35 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −8231 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
12 000·3,605 = 43 257,31
Valore attuale del valore residuo
15 000/1,762 = 8 511,40
NPV
NPV = −60 000 + 43 257,31 + 8 511,40 = −€8 231,28
Risposta
NPV = −€8 231,28
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 35,32 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 101,86
NPV(40%) = −1 399,42
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,035, N = 24
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,438)/0,035 = €642,33
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,438 = €437,96
Prezzo
P = €1 080,29
Risposta
P = €1 080,29
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,019 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 145 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20
YTM = 2,019%
Risposta
YTM = 2,019%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,07 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,3·1,03 = €1,34
re = 1,339/33,5 + 0,03 = 6,997%
Valori di mercato
E = 5 000 000·€33,50 = €167 500 000
V = €268 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·6,997% + 0,375·5%·(1 − 0,3) = 5,686%
Risposta
WACC = 5,686%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5875 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
3 000/(1 − 0,2) = €3 750
Unità necessarie
Q = (8 000 + 3 750)/2 = 5 875
Risposta
Q = 5 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 33,33 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).