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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 6 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0006% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 17? Trova il debito residuo B.
P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 204
B = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi. Genera €5 000 alla fine di ogni anno per 6 anni e poi può essere venduta a €3 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €30 000CF = €5 000S = €3 000n = 6r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €17 000, €23 500, €16 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 17 000CF2 = 23 500CF3 = 16 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 6 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €972 quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 6P = €972YTM = 2,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 13 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 129. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 129prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €21,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 8%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 8 000 unità a €26 l’una. Il costo variabile è €18 per unità e i costi fissi sono €32 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 8 000p = €26v = €18F = €32 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 000 unità al mese a €26 l’una, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €40 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €4 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 3 000p = €26v = €6 → €10F = €40 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3498 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,43 = €3 497,72
Risposta
PV = €3 497,72
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 116135 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 204 = 96
B = 1331·(1 − (1 + 0,002)−96)/0,002 = €116 134,78
Risposta
B = €116 134,78
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −7923 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
5 000·4,111 = 20 557,04
Valore attuale del valore residuo
3 000/1,974 = 1 519,89
NPV
NPV = −30 000 + 20 557,04 + 1 519,89 = −€7 923,07
Risposta
NPV = −€7 923,07
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,59 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 3 072,24
NPV(20%) = −254,63
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,025)−6 = €862,30
Cedola
C = (972 − 862,30)/5,508 = €19,92
Tasso cedolare
c = 19,92/1000 = 1,992%
Risposta
c = 1,992%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 6,321 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1129 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 6%: €1 144,03
y = 7%: €1 098,04
YTC = 6,321%
Risposta
YTC = 6,321%
Il rendimento a scadenza è del 6,5%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte del debito nel WACC
0,3333·5%·(1 − 0,2) = 1,333%
Costo del capitale proprio
re = (10% − 1,333%)/0,6667 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,81 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 8 000·(26 − 18) = €64 000
Utile operativo
Π = 64 000 − 32 000 = €32 000
DOL
DOL = 64 000/32 000 = 2
Risposta
DOL = 2
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 3750 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).