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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €8 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.
PV = €8 0003,6% / 4n = 9
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 5 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3003,6% / 12N = 60
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 6 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €29 000, €14 000, €21 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 14 000CF3 = 21 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 5 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 4%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 5y0 = 4%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €930 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,9 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 150 punti base.
P0 = €930y = 6%D = 11,9Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 8,2%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €36,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €25 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €28 000 all’anno e un costo variabile di €2 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €25 000vA = €8FB = €28 000vB = €2
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 000 unità a €53 l’una, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €9 600. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 15%?
Q = 3 000p = €53v = €45F = €9 600%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 11045 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/4,111 = 19 458,06
EAC
EAC = 19 458,06 + 1 000 = €20 458,06
Risposta
EAC = €20 458,06
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 30,29 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 150,20
NPV(35%) = −2 301,48
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,9/1,06 = 11,23
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −11,23·(−0,015) = 16,84%
P ≈ 930·(1 + 0,1684) = €1 086,61
Risposta
P = €1 086,61
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 10 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Parte del debito nel WACC
0,25·4%·(1 − 0,3) = 0,7%
Costo del capitale proprio
re = (8,2% − 0,7%)/0,75 = 10%
Risposta
re = 10%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,589 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
25 000 + 8Q = 28 000 + 2Q
Ricava Q
Q = (28 000 − 25 000)/(8 − 2) = 500
Risposta
Q = 500 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 25 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.