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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 15 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0002,4% / 12N = 180
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €19 000, €11 000, €12 000, €13 500, €11 500, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €50 000 e rende €18 000, €20 500, €29 000, €26 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 5,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 5 anni e quota €1 045. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 5P = €1 045
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,5 ha un rendimento richiesto del 13%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,5re = 13%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €43,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 5,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €33 l'unità con un costo variabile di €30 per unità. I costi fissi sono €6 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €6 000p = €33v = €30utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €22 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €15 000 all'anno. Le vendite a budget sono 2 700 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €15 000p = €22v = €12budget = 2 700
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 100000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 19 000/1,1 = 17 272,73 → Σ = 17 272,73
anno 2: 11 000/1,21 = 9 090,91 → Σ = 26 363,64
anno 3: 12 000/1,331 = 9 015,78 → Σ = 35 379,41
anno 4: 13 500/1,464 = 9 220,68 → Σ = 44 600,10
anno 5: 11 500/1,611 = 7 140,60 → Σ = 51 740,69
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 5 399,90/7 140,60 = 4,756
Risposta
DPB = 4,756 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,593 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 21 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
18 000·1,13 = 23 958,00
20 500·1,12 = 24 805,00
29 000·1,11 = 31 900,00
26 500·1,10 = 26 500,00
TV = 107 163,00
MIRR
MIRR = (107 163,00/50 000)1/4 − 1 = 21%
Risposta
MIRR = 21%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 904 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,0275, N = 16
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €256,09
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6479 = €647,87
Prezzo
P = €903,97
Risposta
P = €903,97
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,962 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 045 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 089,04, P(5%) = €1 043,29
YTM = 4,962%
Risposta
YTM = 4,962%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 9,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (13% − 2,5%)/1,5 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 2,5% + 7% = 9,5%
Risposta
rm = 9,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,212 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).